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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Studie.
emporgearbeitet, entfernt nicht gewachsen. Er begnügt sich darum auch
mit blossen Andeutungen und Vermutungen.

Wir erhalten in möglichst engem Anschluss an den Worttext:
{a (c d)1 b1} (a c d b 0) (a c d b1 0) [(a + b)1 0)
(c1 = 0) + (d1 = 0)] (a + b c1 d1).

Der erste Faktor, besagend: diejenigen a, welche nicht "c und d zu-
gleich" sind, sind nicht-b (m. a. W. keines derselben ist b) wird sich in
a b (c1 + d1) = 0 umschreiben lassen.

Ebenso der vierte Faktor welcher besagt: falls nicht " a oder b ", d. h.
falls weder a noch b vorliegt, so fehlt entweder c nie oder es fehlt b nie, in
(a1 b1 0) (c = i) + (d = i), resp. a1 b1 c + d oder a1 b1 c1 d1 = 0
-- wozu jedoch nachher noch eine Bemerkung vonnöten.

Endlich ist der letzte Faktor besagend, dass wo a oder b vorliegt, c
und d beide fehlen, zu schreiben als (a + b) (c + d) = 0 und gibt die ver-
einigte Gleichung der drei bisher erwähnten Faktoren:
(a + b) (c + d) + a b (c1 + d1) + a1 b1 c1 d1 = 0,
oder a (b + c + d) + a1 {b (c + d) + b1 c1 d1} = 0,
noch besser, rechts auf 1 gebracht:
a b1 c1 d1 + a1 {b c1 d1 + b1 (c + d)} = 1.

Der zweite Faktor des Ansatzes besagte, dass einige a c d (einige a
die c und d zugleich sind) b seien, der dritte Faktor, dass einige a c d
auch nicht-b seien, womit im ganzen wiedergegeben ist, dass nur einige
a c d auch b sind.

Schreibt man nun die vereinigte Aussage der Data innerlich nach
allen Symbolen entwickelt wie folgt:
(a b1 c1 d1 + a1 b c1 d1 + a1 b1 c d + a1 b1 c d1 + a1 b1 c1 d = 1) (a b c d 0) (a b1 c d 0),
so ist dieselbe zur Elimination irgend einer Symbolgruppe vorbereitet.

Wir geben die volle Resultante der Elimination zunächst von a.
Diese lautet:
(b1 + c1 d1 = 1) (0 0) (0 0)
wo die 0 links im zweiten Faktor aus b c d · b1 c1 d1 im dritten aus b1 c d · b1 c1 d1
entstanden ist -- und lässt durch ihre beiden letzten Faktoren erkennen,
dass das System der Data ein inkonsistentes sein muss.

In der That garantirt der letzte Faktor des Ansatzes, dass unter
anderm auch a b c d = 0 sei im Widerspruch zum zweiten Faktor desselben.

Die Unverträglichkeit ist Jevons entgangen.

Bemerkt muss aber noch werden, dass die Fassung der Data an Un-
klarheit leidet, indem im ersten Absatz von a, b, c, d als Klassen oder
Gattungsnamen die Rede ist, der Logik des Umfangs entsprechend im
zweiten Alinea jedoch ebendavon als von (den) Merkmalen (welche solchen
Gattungen zukommen) entsprechend einer Logik des Inhaltes.

§ 46. Studie.
emporgearbeitet, entfernt nicht gewachsen. Er begnügt sich darum auch
mit blossen Andeutungen und Vermutungen.

Wir erhalten in möglichst engem Anschluss an den Worttext:
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⊆ (c1 = 0) + (d1 = 0)] (a + b ⊆ c1 d1).

Der erste Faktor, besagend: diejenigen a, welche nicht »c und d zu-
gleich« sind, sind nicht-b (m. a. W. keines derselben ist b) wird sich in
a b (c1 + d1) = 0 umschreiben lassen.

Ebenso der vierte Faktor welcher besagt: falls nicht » a oder b «, d. h.
falls weder a noch b vorliegt, so fehlt entweder c nie oder es fehlt b nie, in
(a1 b1 ≠ 0) ⊆ (c = i) + (d = i), resp. a1 b1 ⊆ c + d oder a1 b1 c1 d1 = 0
— wozu jedoch nachher noch eine Bemerkung vonnöten.

Endlich ist der letzte Faktor besagend, dass wo a oder b vorliegt, c
und d beide fehlen, zu schreiben als (a + b) (c + d) = 0 und gibt die ver-
einigte Gleichung der drei bisher erwähnten Faktoren:
(a + b) (c + d) + a b (c1 + d1) + a1 b1 c1 d1 = 0,
oder a (b + c + d) + a1 {b (c + d) + b1 c1 d1} = 0,
noch besser, rechts auf 1 gebracht:
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Der zweite Faktor des Ansatzes besagte, dass einige a c d (einige a
die c und d zugleich sind) b seien, der dritte Faktor, dass einige a c d
auch nicht-b seien, womit im ganzen wiedergegeben ist, dass nur einige
a c d auch b sind.

Schreibt man nun die vereinigte Aussage der Data innerlich nach
allen Symbolen entwickelt wie folgt:
(a b1 c1 d1 + a1 b c1 d1 + a1 b1 c d + a1 b1 c d1 + a1 b1 c1 d = 1) (a b c d ≠ 0) (a b1 c d ≠ 0),
so ist dieselbe zur Elimination irgend einer Symbolgruppe vorbereitet.

Wir geben die volle Resultante der Elimination zunächst von a.
Diese lautet:
(b1 + c1 d1 = 1) (0 ≠ 0) (0 ≠ 0)
wo die 0 links im zweiten Faktor aus b c d · b1 c1 d1 im dritten aus b1 c d · b1 c1 d1
entstanden ist — und lässt durch ihre beiden letzten Faktoren erkennen,
dass das System der Data ein inkonsistentes sein muss.

In der That garantirt der letzte Faktor des Ansatzes, dass unter
anderm auch a b c d = 0 sei im Widerspruch zum zweiten Faktor desselben.

Die Unverträglichkeit ist Jevons entgangen.

Bemerkt muss aber noch werden, dass die Fassung der Data an Un-
klarheit leidet, indem im ersten Absatz von a, b, c, d als Klassen oder
Gattungsnamen die Rede ist, der Logik des Umfangs entsprechend im
zweiten Alinea jedoch ebendavon als von (den) Merkmalen (welche solchen
Gattungen zukommen) entsprechend einer Logik des Inhaltes.

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[303/0327] § 46. Studie. emporgearbeitet, entfernt nicht gewachsen. Er begnügt sich darum auch mit blossen Andeutungen und Vermutungen. Wir erhalten in möglichst engem Anschluss an den Worttext: {a (c d)1  b1} (a c d b ≠ 0) (a c d b1 ≠ 0) [(a + b)1 ≠ 0)   (c1 = 0) + (d1 = 0)] (a + b  c1 d1). Der erste Faktor, besagend: diejenigen a, welche nicht »c und d zu- gleich« sind, sind nicht-b (m. a. W. keines derselben ist b) wird sich in a b (c1 + d1) = 0 umschreiben lassen. Ebenso der vierte Faktor welcher besagt: falls nicht » a oder b «, d. h. falls weder a noch b vorliegt, so fehlt entweder c nie oder es fehlt b nie, in (a1 b1 ≠ 0)  (c = i) + (d = i), resp. a1 b1  c + d oder a1 b1 c1 d1 = 0 — wozu jedoch nachher noch eine Bemerkung vonnöten. Endlich ist der letzte Faktor besagend, dass wo a oder b vorliegt, c und d beide fehlen, zu schreiben als (a + b) (c + d) = 0 und gibt die ver- einigte Gleichung der drei bisher erwähnten Faktoren: (a + b) (c + d) + a b (c1 + d1) + a1 b1 c1 d1 = 0, oder a (b + c + d) + a1 {b (c + d) + b1 c1 d1} = 0, noch besser, rechts auf 1 gebracht: a b1 c1 d1 + a1 {b c1 d1 + b1 (c + d)} = 1. Der zweite Faktor des Ansatzes besagte, dass einige a c d (einige a die c und d zugleich sind) b seien, der dritte Faktor, dass einige a c d auch nicht-b seien, womit im ganzen wiedergegeben ist, dass nur einige a c d auch b sind. Schreibt man nun die vereinigte Aussage der Data innerlich nach allen Symbolen entwickelt wie folgt: (a b1 c1 d1 + a1 b c1 d1 + a1 b1 c d + a1 b1 c d1 + a1 b1 c1 d = 1) (a b c d ≠ 0) (a b1 c d ≠ 0), so ist dieselbe zur Elimination irgend einer Symbolgruppe vorbereitet. Wir geben die volle Resultante der Elimination zunächst von a. Diese lautet: (b1 + c1 d1 = 1) (0 ≠ 0) (0 ≠ 0) wo die 0 links im zweiten Faktor aus b c d · b1 c1 d1 im dritten aus b1 c d · b1 c1 d1 entstanden ist — und lässt durch ihre beiden letzten Faktoren erkennen, dass das System der Data ein inkonsistentes sein muss. In der That garantirt der letzte Faktor des Ansatzes, dass unter anderm auch a b c d = 0 sei im Widerspruch zum zweiten Faktor desselben. Die Unverträglichkeit ist Jevons entgangen. Bemerkt muss aber noch werden, dass die Fassung der Data an Un- klarheit leidet, indem im ersten Absatz von a, b, c, d als Klassen oder Gattungsnamen die Rede ist, der Logik des Umfangs entsprechend im zweiten Alinea jedoch ebendavon als von (den) Merkmalen (welche solchen Gattungen zukommen) entsprechend einer Logik des Inhaltes.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 303. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/327>, abgerufen am 12.05.2024.