Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Einundzwanzigste Vorlesung.

Anmerkung 1.

In den Theoremen ϱ) oder σ) darf, wie leicht zu sehen, die
Gleichung
p q = c resp. p + q = c
auch durch die Subsumtion
p q ⊆ c resp. c ⊆ p + q,
desgleichen in denen τ) durch
c ⊆ p q resp. p + q ⊆ c
ersetzt werden.

Bei den Umkehrungen (oder zweiten Teilen der Beweise) ist nur zu
beachten, dass (p q = c) ⊆ (p q ⊆ c) nach Def. (1) und Th. 6̄_× ist, etc.

Anmerkung 2.

Durch Kontraposition ergeben sich aus den vier Theoremen σ)
und ϱ) — oder τ) und Gegenstück — noch vier entsprechende Formeln
welche auf Un-Subsumtionen bezüglich sind und Produkte Π von
Summen [Binomen oder Trinomen je nachdem man ϱ) oder σ), etc.
konvertirt] aufweisen.

Die ersten beiden von diesen führt Peirce p. 37 an, doch über-
lassen wir ihren Ansatz dem Leser.

10. Aufgabe.

x zu eliminiren aus den beiden Unsubsumtionen:
a x ⊆ b oder a ⊆ b + x₁
und
c ⊆ d + x oder c x₁ ⊆ d.

Dass die nebeneinanderstehenden von diesen äquivalent sein müssen,
folgt durch Kontraposition gemäss Th. 3̅2̅) aus Th. 41). Wir mögen
uns darum an die erste Form einer jeden halten.

Auflösung. Nun ist
(a x ⊆ b) (c ⊆ d + x) = (a x ⊆ b)₁ (c ⊆ d + x)₁ = (a b₁ x = 0)₁ (c d₁ x₁ = 0)₁ =
= (a b₁ x ≠ 0) (c d₁ x₁ ≠ 0).
Um hieraus x zu eliminiren, haben wir das Schema η) des § 41 an-
zuwenden als den hier in Betracht kommenden und schon ausreichenden
Spezialfall des allgemeinen Eliminationstheorems τ) daselbst.

Darnach ergibt sich als die Resultante:
(a b₁ + 0 ≠ 0) (0 + c d₁ ≠ 0), = (a b₁ ≠ 0) (c d₁ ≠ 0), =
= (a ⊆ b) (c ⊆ d).