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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Analoga zu Peirce's Theoremen.

9. Fortsetzung.

Meine Analoga zu den Theoremen s) lauten:
t (c a b) = [Formel 1] (p q = c) (p a) (q b) |
| (a + b c) = [Formel 2] (p + q = c) (a p) (b q)
und könnten dieselben auch in einer der Peirce'schen r) noch näher
kommenden Gestalt angeschrieben werden, indem man wieder den
ersten Faktor des allgemeinen Gliedes nur als Bedingung ("Erstreckung")
unter das Summenzeichen setzte.

Beweis derselben.

Nach 17x) ist:
(p a) (q b) (p q a b)
und dies nach Th. 15x) beiderseits
mit der den Namen c einführenden
Gleichung (p q = c) multiplizirt, gibt,
wenn man rechts berücksichtigt dass
nach Th. 3):
(c = p q) (p q a b) (c a b)
ist, nach II:
(p q = c) (p a) (q b) (c a b),
wo der linken Seite nach Def. (3n+)'
nun auch ein Szeichen vorange-
schrieben werden kann.
Ferner ist nach Th. 20x):
(c a b) = (c · a b = c) =
(c a · c b = c).
Nennen wir nun c a = p, c b = q, so
ist gefolgert: p q = c und muss zu-
gleich nach Th. 6x) sein: p a und
q b, sonach im ganzen:
(c a b) (p q = c) (p a) (q b)
wenigstens für diese p, q. Hier darf
nun rechts auch ein S vorgeschrieben
werden weil das Glied der Summe
eingeordnet,		Nach 17+) ist:
(a p) (b q) (a + b p + q)
und dies mit (p + q = c) beiderseits
nach Th. 15x) multiplizirt wird wegen
(a + b p + q) (p + q = c) (a + b c)
-- nach Th. 2) -- geben:
(p + q = c) (a p) (b q) (a + b c)
und lässt sich links hier auch ein
Summenzeichen vorschreiben aus dem
schon wiederholt angeführten Grunde.
Desgleichen ist nach Th. 20+):
(a + b c) = {(a + b) + c = c} =
{(a + c) + (b + c) = c}.
Wird a + c = p, b + c = q ge-
nannt, so ist gefunden: p + q = c,
zugleich nach Th. 6+) a p und
b q mithin
(a + b c) (p + q = c) (a p) (b q)
für die vorstehend definirten p, q.
Der rechten Seite darf man unbe-
schadet der Gültigkeit der Subsum-
tion ein S vorsetzen,

und ist hienach das Theorem als Subsumtion vor- und rückwärts bewiesen;
es muss als Gleichung gelten.

§ 46. Analoga zu Peirce’s Theoremen.

9. Fortsetzung.

Meine Analoga zu den Theoremen σ) lauten:
τ (c ⊆ a b) = [Formel 1] (p q = c) (p ⊆ a) (q ⊆ b) |
| (a + b ⊆ c) = [Formel 2] (p + q = c) (a ⊆ p) (b ⊆ q)
und könnten dieselben auch in einer der Peirce’schen ϱ) noch näher
kommenden Gestalt angeschrieben werden, indem man wieder den
ersten Faktor des allgemeinen Gliedes nur als Bedingung („Erstreckung“)
unter das Summenzeichen setzte.

Beweis derselben.

Nach 17×) ist:
(p ⊆ a) (q ⊆ b) ⊆ (p q ⊆ a b)
und dies nach Th. 1̅5̅×) beiderseits
mit der den Namen c einführenden
Gleichung (p q = c) multiplizirt, gibt,
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nun auch ein Σzeichen vorange-
schrieben werden kann.
Ferner ist nach Th. 20×):
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Nennen wir nun c a = p, c b = q, so
ist gefolgert: p q = c und muss zu-
gleich nach Th. 6×) sein: p ⊆ a und
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nun rechts auch ein Σ vorgeschrieben
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und dies mit (p + q = c) beiderseits
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schon wiederholt angeführten Grunde.
Desgleichen ist nach Th. 20+):
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nannt, so ist gefunden: p + q = c,
zugleich nach Th. 6+) a ⊆ p und
b ⊆ q mithin
(a + b ⊆ c) ⊆ (p + q = c) (a ⊆ p) (b ⊆ q)
für die vorstehend definirten p, q.
Der rechten Seite darf man unbe-
schadet der Gültigkeit der Subsum-
tion ein Σ vorsetzen,

und ist hienach das Theorem als Subsumtion vor- und rückwärts bewiesen;
es muss als Gleichung gelten.

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[299/0323] § 46. Analoga zu Peirce’s Theoremen. 9. Fortsetzung. Meine Analoga zu den Theoremen σ) lauten: τ (c  a b) = [FORMEL] (p q = c) (p  a) (q  b) | | (a + b  c) = [FORMEL] (p + q = c) (a  p) (b  q) und könnten dieselben auch in einer der Peirce’schen ϱ) noch näher kommenden Gestalt angeschrieben werden, indem man wieder den ersten Faktor des allgemeinen Gliedes nur als Bedingung („Erstreckung“) unter das Summenzeichen setzte. Beweis derselben. Nach 17×) ist: (p  a) (q  b)  (p q  a b) und dies nach Th. 1̅5̅×) beiderseits mit der den Namen c einführenden Gleichung (p q = c) multiplizirt, gibt, wenn man rechts berücksichtigt dass nach Th. 3): (c = p q) (p q  a b)  (c  a b) ist, nach II: (p q = c) (p  a) (q  b)  (c  a b), wo der linken Seite nach Def. (3̄+)' nun auch ein Σzeichen vorange- schrieben werden kann. Ferner ist nach Th. 20×): (c  a b) = (c · a b = c) =  (c a · c b = c). Nennen wir nun c a = p, c b = q, so ist gefolgert: p q = c und muss zu- gleich nach Th. 6×) sein: p  a und q  b, sonach im ganzen: (c  a b)  (p q = c) (p  a) (q  b) wenigstens für diese p, q. Hier darf nun rechts auch ein Σ vorgeschrieben werden weil das Glied der Summe eingeordnet, Nach 17+) ist: (a  p) (b  q)  (a + b  p + q) und dies mit (p + q = c) beiderseits nach Th. 1̅5̅×) multiplizirt wird wegen (a + b  p + q) (p + q = c)  (a + b  c) — nach Th. 2) — geben: (p + q = c) (a  p) (b  q)  (a + b  c) und lässt sich links hier auch ein Summenzeichen vorschreiben aus dem schon wiederholt angeführten Grunde. Desgleichen ist nach Th. 20+): (a + b  c) = {(a + b) + c = c} =  {(a + c) + (b + c) = c}. Wird a + c = p, b + c = q ge- nannt, so ist gefunden: p + q = c, zugleich nach Th. 6+) a  p und b  q mithin (a + b  c)  (p + q = c) (a  p) (b  q) für die vorstehend definirten p, q. Der rechten Seite darf man unbe- schadet der Gültigkeit der Subsum- tion ein Σ vorsetzen, und ist hienach das Theorem als Subsumtion vor- und rückwärts bewiesen; es muss als Gleichung gelten.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 299. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/323>, abgerufen am 23.11.2024.