Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Einundzwanzigste Vorlesung.

hin das betreffende Glied verschwinden, sozusagen von selbst in der
Summe fehlen wird.

Beweis der Theoreme (nach Peirce).

Wenn a ⊆ p und zugleich b ⊆ q, so folgt nach Th. 17_×): a b ⊆ p q und für p q = c folgt also nach Th. 2): a b ⊆ c. Das heisst, es ist zu einer ein- zigen Aussage zusammengefasst: (p q = c) (a ⊆ p) (b ⊆ q) ⊆ (a b ⊆ c). Da diese Subsumtion nun für jedes Wertepaar p, q gilt, so folgt durch Summirung aus der für alle diese Paare hingeschrieben gedachten Sub- sumtion nach Th. 17_+) und 14_+) — oder unmittelbar gemäss Def. (3̄_+)': Σ (p q = c) (a ⊆ p) (b ⊆ q) ⊆ (a b ⊆ c). Umgekehrt, wenn a b ⊆ c ist, so muss c + a b = c sein nach Th. 20_+). Es ist aber c + a b = (c + a) (c + b). Sonach ist erkannt, dass: (a b ⊆ c) ⊆ {(c + a) (c + b) = c}. Nennen wir hier: c + a = p, c + b = q, wo dann also p q = c sein wird, so ist für diese p, q zugleich a ⊆ p und b ⊆ q nach Th. 6_+), mithin gilt: (a b ⊆ c) ⊆ (p q = c) (a ⊆ p) (b ⊆ q) wenigstens für jene gewissen p, q. Das Glied rechterhand ist aber nach Th. 6_+) ⊆ jeder Summe, die es ent- hält, folglich auch a fortiori: (a b ⊆ c) ⊆ Σ (p q = c) (a ⊆ p) (b ⊆ q).

Nach 17_+) ist: (p ⊆ a) (q ⊆ b) ⊆ (p + q ⊆ a + b). Dies beiderseits mit (p + q = c) mul- tiplizirt und rechts beachtet, dass nach Th. 3): (c = p + q) (p + q ⊆ a + b) ⊆ (c ⊆ a + b) sein muss, gibt nach Prinzip II: (p + q = c) (p ⊆ a) (q ⊆ b) ⊆ (c ⊆ a + b), und wenn dies für alle p, q hinge- schrieben gedacht wird, nach Def. (3̄_+)' in ihrer bekannten Erweiterung auf unbegrenzt viele Terme: Σ (p + q = c) (p ⊆ a) (q ⊆ b) ⊆ (c ⊆ a + b). Ferner haben wir: (c ⊆ a + b) = {c (a + b) = c} = ⊆ (a c + b c = c) nach Th. 20_×) und 27_×). Nennen wir a c = p, b c = q, so wird erstlich p ⊆ a, q ⊆ b nach Th. 6_×) sodann, wie eben gezeigt: p + q = c sein und gilt im ganzen: (c ⊆ a + b) ⊆ (p + q = c) (p ⊆ a) (q ⊆ b). [Rechnerisch erhalten wir dies aus dem vorigen Ergebnisse durch beider- seitiges Multipliziren mit: i ⊆ (a c ⊆ a) (b c ⊆ b) unter Einsetzung der Werte von p, q.] Und da nun das Glied wieder der Summe eingeordnet, so muss sein: (c ⊆ a + b) ⊆ Σ (p + q = c) (p ⊆ a) (q ⊆ b).

Das Theorem ist hiermit als Subsumtion vor- und rückwärts bewiesen
und muss nach Def. (1) folglich als Gleichung gelten. —