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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Studien über Theoreme von Peirce.
o) (e f) {(a e) + (c e 0)} 0
-- indem wegen e f auch e f = e sein wird, resp.
p) (a e) + (c e 0) 0.

Die Ergebnisse n), o), sodann x), p) lehren in Worten:

Entweder während der ganzen Stunde ist a ganz in e enthalten,
oder c bedeckt die ganze Tafel während a von e nebst f überdeckt
wird, oder c und e haben einen Teil gemein,

Oder während eines Teils der Stunde ("manchmal") ist e ganz in
f eingeschlossen, während (entweder) a in e eingeschlossen erscheint,
oder c und e in einander greifen.

Beziehungsweise:

Immer ist a in e enthalten oder c bedeckt die Tafel oder ragt in e
hinein, oder (nur) manchmal ist a in e enthalten oder ragt c in e hinein.

Da (A = i) (A 0), so wird man in x) den ersten und dritten
Term gegen die beiden in p) weglassen können, und kann letzteres Resul-
tat einfacher darstellen durch:

Entweder c bedeckt stets die ganze Tafel oder manchmal ist a
in e enthalten oder ragt c in e hinein.

8. Studie.

In 5 p. 34 u. 35 gibt Peirce in der Formelsprache des Aussagen-
kalkuls ein paar Theoreme des Gebietekalkuls, denen ich in nächster
Nummer ein paar analoge zugesellen werde. Für alle viere, die von
eigentümlicher Beschaffenheit sind, vermag ich aber keine Gelegenheit
für ihre Anwendung oder etwaige Verwertung abzusehn, sodass sie
hier nur als Kuriosa des identischen Kalkuls und Übungen im Aus-
sagenkalkul dargestellt und bewiesen werden sollen.

Herrn Peirce's Theoreme lauten:

rx) (a b c) = [Formel 1] (a p) (b q)r+) (c a + b) = [Formel 2] (p a) (q b)
wo die Summe jeweils auszudehnen ist über alle möglichen Gebiete
p, q welche die unter das Summenzeichen gesetzte Gleichung erfüllen.

Noch besser, vielleicht, wird man die Theoreme so schreiben:

s (a b c) = [Formel 3] (p q = c) (a p) (b q)(c a + b) = [Formel 4] (p + q = c) (p a) (q b)
wo die Summen auszudehnen sind, sich erstrecken sollen über alle
denkbaren Gebietepaare p, q.

Dass dieses auf das vorige hinauskommt, wird klar, wenn man
-- z. B. links vom Mittelstriche -- bedenkt, dass für jedes Wertepaar
p, q, für welches etwa p q c ist, der Faktor (p q = c) = 0 sein, mit-

§ 46. Studien über Theoreme von Peirce.
ο) (e ⊆ f) {(a ⊆ e) + (c e ≠ 0)} ≠ 0
— indem wegen e ⊆ f auch e f = e sein wird, resp.
π) (a ⊆ e) + (c e ≠ 0) ≠ 0.

Die Ergebnisse ν), ο), sodann ξ), π) lehren in Worten:

Entweder während der ganzen Stunde ist a ganz in e enthalten,
oder c bedeckt die ganze Tafel während a von e nebst f überdeckt
wird, oder c und e haben einen Teil gemein,

Oder während eines Teils der Stunde („manchmal“) ist e ganz in
f eingeschlossen, während (entweder) a in e eingeschlossen erscheint,
oder c und e in einander greifen.

Beziehungsweise:

Immer ist a in e enthalten oder c bedeckt die Tafel oder ragt in e
hinein, oder (nur) manchmal ist a in e enthalten oder ragt c in e hinein.

Da (A = i) ⊆ (A ≠ 0), so wird man in ξ) den ersten und dritten
Term gegen die beiden in π) weglassen können, und kann letzteres Resul-
tat einfacher darstellen durch:

Entweder c bedeckt stets die ganze Tafel oder manchmal ist a
in e enthalten oder ragt c in e hinein.

8. Studie.

In 5 p. 34 u. 35 gibt Peirce in der Formelsprache des Aussagen-
kalkuls ein paar Theoreme des Gebietekalkuls, denen ich in nächster
Nummer ein paar analoge zugesellen werde. Für alle viere, die von
eigentümlicher Beschaffenheit sind, vermag ich aber keine Gelegenheit
für ihre Anwendung oder etwaige Verwertung abzusehn, sodass sie
hier nur als Kuriosa des identischen Kalkuls und Übungen im Aus-
sagenkalkul dargestellt und bewiesen werden sollen.

Herrn Peirce’s Theoreme lauten:

ϱ×) (a b ⊆ c) = [Formel 1] (a ⊆ p) (b ⊆ q)ϱ+) (c ⊆ a + b) = [Formel 2] (p ⊆ a) (q ⊆ b)
wo die Summe jeweils auszudehnen ist über alle möglichen Gebiete
p, q welche die unter das Summenzeichen gesetzte Gleichung erfüllen.

Noch besser, vielleicht, wird man die Theoreme so schreiben:

σ (a b ⊆ c) = [Formel 3] (p q = c) (a ⊆ p) (b ⊆ q)(c ⊆ a + b) = [Formel 4] (p + q = c) (p ⊆ a) (q ⊆ b)
wo die Summen auszudehnen sind, sich erstrecken sollen über alle
denkbaren Gebietepaare p, q.

Dass dieses auf das vorige hinauskommt, wird klar, wenn man
— z. B. links vom Mittelstriche — bedenkt, dass für jedes Wertepaar
p, q, für welches etwa p q ≠ c ist, der Faktor (p q = c) = 0 sein, mit-

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[297/0321] § 46. Studien über Theoreme von Peirce. ο) (e  f) {(a  e) + (c e ≠ 0)} ≠ 0 — indem wegen e  f auch e f = e sein wird, resp. π) (a  e) + (c e ≠ 0) ≠ 0. Die Ergebnisse ν), ο), sodann ξ), π) lehren in Worten: Entweder während der ganzen Stunde ist a ganz in e enthalten, oder c bedeckt die ganze Tafel während a von e nebst f überdeckt wird, oder c und e haben einen Teil gemein, Oder während eines Teils der Stunde („manchmal“) ist e ganz in f eingeschlossen, während (entweder) a in e eingeschlossen erscheint, oder c und e in einander greifen. Beziehungsweise: Immer ist a in e enthalten oder c bedeckt die Tafel oder ragt in e hinein, oder (nur) manchmal ist a in e enthalten oder ragt c in e hinein. Da (A = i)  (A ≠ 0), so wird man in ξ) den ersten und dritten Term gegen die beiden in π) weglassen können, und kann letzteres Resul- tat einfacher darstellen durch: Entweder c bedeckt stets die ganze Tafel oder manchmal ist a in e enthalten oder ragt c in e hinein. 8. Studie. In 5 p. 34 u. 35 gibt Peirce in der Formelsprache des Aussagen- kalkuls ein paar Theoreme des Gebietekalkuls, denen ich in nächster Nummer ein paar analoge zugesellen werde. Für alle viere, die von eigentümlicher Beschaffenheit sind, vermag ich aber keine Gelegenheit für ihre Anwendung oder etwaige Verwertung abzusehn, sodass sie hier nur als Kuriosa des identischen Kalkuls und Übungen im Aus- sagenkalkul dargestellt und bewiesen werden sollen. Herrn Peirce’s Theoreme lauten: ϱ×) (a b  c) = [FORMEL] (a  p) (b  q) ϱ+) (c  a + b) = [FORMEL] (p  a) (q  b) wo die Summe jeweils auszudehnen ist über alle möglichen Gebiete p, q welche die unter das Summenzeichen gesetzte Gleichung erfüllen. Noch besser, vielleicht, wird man die Theoreme so schreiben: σ (a b  c) = [FORMEL] (p q = c) (a  p) (b  q) (c  a + b) = [FORMEL] (p + q = c) (p  a) (q  b) wo die Summen auszudehnen sind, sich erstrecken sollen über alle denkbaren Gebietepaare p, q. Dass dieses auf das vorige hinauskommt, wird klar, wenn man — z. B. links vom Mittelstriche — bedenkt, dass für jedes Wertepaar p, q, für welches etwa p q ≠ c ist, der Faktor (p q = c) = 0 sein, mit-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 297. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/321>, abgerufen am 11.05.2024.