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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 46. Aufgabe von Mitchell.
Prozesse zur Verdeutlichung hier ausführlichst dargelegt; der auch nur
einigermassen geübte Rechner wird natürlich viel weniger anzuschreiben
benötigt sein].

Das dritte Glied wird ebenso:
{(b + c1) y x = 0} {a y1 x 0} {a y1 (y1 + b1 c) 0} = (a y1 0) (a 0).

Endlich wird das vierte Glied -- nach § 41, e):
{a y1 x 0} {b y x 0} (a y1 0) (b y 0) (a 0) (b 0) K,
wo die "Klausel" K die Forderung kürzehalber vorstellen soll, dass
die Klassen a und b nicht zugleich einunddasselbe Individuum (ausschliess-
lich) vorstellen dürfen. Obwol dieses Thema noch nicht systematisch
behandelt ist, vielmehr erst in § 49 in Angriff genommen wird, sieht
man hier bei einigem Nachdenken doch leicht direkt ein, dass diese
Forderung unerlässlich und hinreichend ist, damit es ein y geben
könne und müsse, welches (bei nicht verschwindenden a und b) die
Relationen a y1 0 und b y 0 gleichzeitig erfüllt.

Darnach sind die Data des Problems der Summe unsrer vier
Resultanten, somit:
(d b1 c) + (b 0) + (a 0) + (a 0) (b 0) K
wo nun aber der letzte Term von den zwei vorhergehenden absorbirt
wird -- ein Zufall, der Herrn Mitchell's Lösung zugute kommt.
Mithin ist
(b d = 0) (d c) + (a + b 0) = i
die gesuchte Konklusion und zwar die volle Eliminationsresultante für
x, y. In Worten:

Entweder kein d ist b und alle d sind c (d. h. alle d sind c aber
nicht b), oder es gibt a oder b.

Fernere Elimination von c würde blos noch den Wegfall des
Faktors (d c) in obiger Resultante bewirken.

Wer mit rechts auf 1 gebrachten Gleichungen zu operiren vorzieht,
hat für das erste, zweite und dritte Glied bezüglich die Ansätze zu machen:
(d1 + x y = 1) (x1 + y1 + b1 c = 1) = {d1 (x1 + y1) + b1 c x y = 1} (d1 + b1 c = 1)
wo beim Ausmultipliziren der beiden Polynome zur Linken das Glied b1 c d1
absorbirt wurde; resp.:
(d1 + x y = 1) (b x y 0) = {(d1 + y) x + d1 x1 = 1} (b y x + 0 · x1 0)
(d1 + y + d1 = 1) {b y (d1 + y) + 0 · d1 0} = (d1 + y = 1) (b y 0) =
= (1 · y + d1 y1 = 1) (b y + 0 · y1 0) (1 + d1 = 1) (b · 1 + 0 · d1 0) = (b 0);

§ 46. Aufgabe von Mitchell.
Prozesse zur Verdeutlichung hier ausführlichst dargelegt; der auch nur
einigermassen geübte Rechner wird natürlich viel weniger anzuschreiben
benötigt sein].

Das dritte Glied wird ebenso:
{(b + c1) y x = 0} {a y1 x ≠ 0} ⊆ {a y1 (y1 + b1 c) ≠ 0} = (a y1 ≠ 0) ⊆ (a ≠ 0).

Endlich wird das vierte Glied — nach § 41, η):
{a y1 x ≠ 0} {b y x ≠ 0} ⊆ (a y1 ≠ 0) (b y ≠ 0) ⊆ (a ≠ 0) (b ≠ 0) K,
wo die „Klausel“ K die Forderung kürzehalber vorstellen soll, dass
die Klassen a und b nicht zugleich einunddasselbe Individuum (ausschliess-
lich) vorstellen dürfen. Obwol dieses Thema noch nicht systematisch
behandelt ist, vielmehr erst in § 49 in Angriff genommen wird, sieht
man hier bei einigem Nachdenken doch leicht direkt ein, dass diese
Forderung unerlässlich und hinreichend ist, damit es ein y geben
könne und müsse, welches (bei nicht verschwindenden a und b) die
Relationen a y1 ≠ 0 und b y ≠ 0 gleichzeitig erfüllt.

Darnach sind die Data des Problems ⊆ der Summe unsrer vier
Resultanten, somit:
⊆ (d ⊆ b1 c) + (b ≠ 0) + (a ≠ 0) + (a ≠ 0) (b ≠ 0) K
wo nun aber der letzte Term von den zwei vorhergehenden absorbirt
wird — ein Zufall, der Herrn Mitchell’s Lösung zugute kommt.
Mithin ist
(b d = 0) (d ⊆ c) + (a + b ≠ 0) = i
die gesuchte Konklusion und zwar die volle Eliminationsresultante für
x, y. In Worten:

Entweder kein d ist b und alle d sind c (d. h. alle d sind c aber
nicht b), oder es gibt a oder b.

Fernere Elimination von c würde blos noch den Wegfall des
Faktors (d ⊆ c) in obiger Resultante bewirken.

Wer mit rechts auf 1 gebrachten Gleichungen zu operiren vorzieht,
hat für das erste, zweite und dritte Glied bezüglich die Ansätze zu machen:
(d1 + x y = 1) (x1 + y1 + b1 c = 1) = {d1 (x1 + y1) + b1 c x y = 1} ⊆ (d1 + b1 c = 1)
wo beim Ausmultipliziren der beiden Polynome zur Linken das Glied b1 c d1
absorbirt wurde; resp.:
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[293/0317] § 46. Aufgabe von Mitchell. Prozesse zur Verdeutlichung hier ausführlichst dargelegt; der auch nur einigermassen geübte Rechner wird natürlich viel weniger anzuschreiben benötigt sein]. Das dritte Glied wird ebenso: {(b + c1) y x = 0} {a y1 x ≠ 0}  {a y1 (y1 + b1 c) ≠ 0} = (a y1 ≠ 0)  (a ≠ 0). Endlich wird das vierte Glied — nach § 41, η): {a y1 x ≠ 0} {b y x ≠ 0}  (a y1 ≠ 0) (b y ≠ 0)  (a ≠ 0) (b ≠ 0) K, wo die „Klausel“ K die Forderung kürzehalber vorstellen soll, dass die Klassen a und b nicht zugleich einunddasselbe Individuum (ausschliess- lich) vorstellen dürfen. Obwol dieses Thema noch nicht systematisch behandelt ist, vielmehr erst in § 49 in Angriff genommen wird, sieht man hier bei einigem Nachdenken doch leicht direkt ein, dass diese Forderung unerlässlich und hinreichend ist, damit es ein y geben könne und müsse, welches (bei nicht verschwindenden a und b) die Relationen a y1 ≠ 0 und b y ≠ 0 gleichzeitig erfüllt. Darnach sind die Data des Problems  der Summe unsrer vier Resultanten, somit:  (d  b1 c) + (b ≠ 0) + (a ≠ 0) + (a ≠ 0) (b ≠ 0) K wo nun aber der letzte Term von den zwei vorhergehenden absorbirt wird — ein Zufall, der Herrn Mitchell’s Lösung zugute kommt. Mithin ist (b d = 0) (d  c) + (a + b ≠ 0) = i die gesuchte Konklusion und zwar die volle Eliminationsresultante für x, y. In Worten: Entweder kein d ist b und alle d sind c (d. h. alle d sind c aber nicht b), oder es gibt a oder b. Fernere Elimination von c würde blos noch den Wegfall des Faktors (d  c) in obiger Resultante bewirken. Wer mit rechts auf 1 gebrachten Gleichungen zu operiren vorzieht, hat für das erste, zweite und dritte Glied bezüglich die Ansätze zu machen: (d1 + x y = 1) (x1 + y1 + b1 c = 1) = {d1 (x1 + y1) + b1 c x y = 1}  (d1 + b1 c = 1) wo beim Ausmultipliziren der beiden Polynome zur Linken das Glied b1 c d1 absorbirt wurde; resp.: (d1 + x y = 1) (b x y ≠ 0) = {(d1 + y) x + d1 x1 = 1} (b y x + 0 · x1 ≠ 0)   (d1 + y + d1 = 1) {b y (d1 + y) + 0 · d1 ≠ 0} = (d1 + y = 1) (b y ≠ 0) = = (1 · y + d1 y1 = 1) (b y + 0 · y1 ≠ 0)  (1 + d1 = 1) (b · 1 + 0 · d1 ≠ 0) = (b ≠ 0);

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 293. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/317>, abgerufen am 11.05.2024.