Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 46. Aufgabe von Mitchell. Prozesse zur Verdeutlichung hier ausführlichst dargelegt; der auch nureinigermassen geübte Rechner wird natürlich viel weniger anzuschreiben benötigt sein]. Das dritte Glied wird ebenso: Endlich wird das vierte Glied -- nach § 41, e): Darnach sind die Data des Problems der Summe unsrer vier Entweder kein d ist b und alle d sind c (d. h. alle d sind c aber Fernere Elimination von c würde blos noch den Wegfall des Wer mit rechts auf 1 gebrachten Gleichungen zu operiren vorzieht, § 46. Aufgabe von Mitchell. Prozesse zur Verdeutlichung hier ausführlichst dargelegt; der auch nureinigermassen geübte Rechner wird natürlich viel weniger anzuschreiben benötigt sein]. Das dritte Glied wird ebenso: Endlich wird das vierte Glied — nach § 41, η): Darnach sind die Data des Problems ⊆ der Summe unsrer vier Entweder kein d ist b und alle d sind c (d. h. alle d sind c aber Fernere Elimination von c würde blos noch den Wegfall des Wer mit rechts auf 1 gebrachten Gleichungen zu operiren vorzieht, <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0317" n="293"/><fw place="top" type="header">§ 46. Aufgabe von <hi rendition="#g">Mitchell</hi>.</fw><lb/> Prozesse zur Verdeutlichung hier ausführlichst dargelegt; der auch nur<lb/> einigermassen geübte Rechner wird natürlich viel weniger anzuschreiben<lb/> benötigt sein].</p><lb/> <p>Das dritte Glied wird ebenso:<lb/> {(<hi rendition="#i">b</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">y x</hi> = 0} {<hi rendition="#i">a y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> ≠ 0} <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> {<hi rendition="#i">a y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi>) ≠ 0} = (<hi rendition="#i">a y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">a</hi> ≠ 0).</p><lb/> <p>Endlich wird das vierte Glied — nach § 41, <hi rendition="#i">η</hi>):<lb/><hi rendition="#c">{<hi rendition="#i">a y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> ≠ 0} {<hi rendition="#i">b y x</hi> ≠ 0} <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">a y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0) (<hi rendition="#i">b y</hi> ≠ 0) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">a</hi> ≠ 0) (<hi rendition="#i">b</hi> ≠ 0) <hi rendition="#i">K</hi>,</hi><lb/> wo die „Klausel“ <hi rendition="#i">K</hi> die Forderung kürzehalber vorstellen soll, <hi rendition="#i">dass<lb/> die Klassen a und b nicht zugleich einunddasselbe Individuum</hi> (<hi rendition="#i">ausschliess-<lb/> lich</hi>) <hi rendition="#i">vorstellen dürfen</hi>. Obwol dieses Thema noch nicht systematisch<lb/> behandelt ist, vielmehr erst in § 49 in Angriff genommen wird, sieht<lb/> man hier bei einigem Nachdenken doch leicht direkt ein, dass diese<lb/> Forderung unerlässlich und hinreichend ist, damit es ein <hi rendition="#i">y</hi> geben<lb/> könne und müsse, welches (bei nicht verschwindenden <hi rendition="#i">a</hi> und <hi rendition="#i">b</hi>) die<lb/> Relationen <hi rendition="#i">a y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0 und <hi rendition="#i">b y</hi> ≠ 0 gleichzeitig erfüllt.</p><lb/> <p>Darnach sind die Data des Problems <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> der Summe unsrer vier<lb/> Resultanten, somit:<lb/><hi rendition="#c"><choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">d</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi>) + (<hi rendition="#i">b</hi> ≠ 0) + (<hi rendition="#i">a</hi> ≠ 0) + (<hi rendition="#i">a</hi> ≠ 0) (<hi rendition="#i">b</hi> ≠ 0) <hi rendition="#i">K</hi></hi><lb/> wo nun aber der letzte Term von den zwei vorhergehenden absorbirt<lb/> wird — ein Zufall, der Herrn <hi rendition="#g">Mitchell’</hi>s Lösung zugute kommt.<lb/> Mithin ist<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">b d</hi> = 0) (<hi rendition="#i">d</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) + (<hi rendition="#i">a</hi> + <hi rendition="#i">b</hi> ≠ 0) = i</hi><lb/> die gesuchte Konklusion und zwar die volle Eliminationsresultante für<lb/><hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi>. In Worten:</p><lb/> <p><hi rendition="#i">Entweder</hi> kein <hi rendition="#i">d</hi> ist <hi rendition="#i">b</hi> und alle <hi rendition="#i">d</hi> sind <hi rendition="#i">c</hi> (d. h. alle <hi rendition="#i">d</hi> sind <hi rendition="#i">c</hi> aber<lb/> nicht <hi rendition="#i">b</hi>), <hi rendition="#i">oder</hi> es gibt <hi rendition="#i">a</hi> oder <hi rendition="#i">b</hi>.</p><lb/> <p>Fernere Elimination von <hi rendition="#i">c</hi> würde blos noch den Wegfall des<lb/> Faktors (<hi rendition="#i">d</hi> <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> <hi rendition="#i">c</hi>) in obiger Resultante bewirken.</p><lb/> <p>Wer mit rechts auf 1 gebrachten Gleichungen zu operiren vorzieht,<lb/> hat für das erste, zweite und dritte Glied bezüglich die Ansätze zu machen:<lb/><hi rendition="#c">(<hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x y</hi> = 1) (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi> = 1) = {<hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c x y</hi> = 1} <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c</hi> = 1)</hi><lb/> wo beim Ausmultipliziren der beiden Polynome zur Linken das Glied <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">c d</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/> absorbirt wurde; resp.:<lb/> (<hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">x y</hi> = 1) (<hi rendition="#i">b x y</hi> ≠ 0) = {(<hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi>) <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 1} (<hi rendition="#i">b y x</hi> + 0 · <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice><lb/><choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (<hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 1) {<hi rendition="#i">b y</hi> (<hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi>) + 0 · <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0} = (<hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">y</hi> = 1) (<hi rendition="#i">b y</hi> ≠ 0) =<lb/> = (1 · <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 1) (<hi rendition="#i">b y</hi> + 0 · <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0) <choice><orig></orig><reg>⊆</reg></choice> (1 + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = 1) (<hi rendition="#i">b</hi> · 1 + 0 · <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> ≠ 0) = (<hi rendition="#i">b</hi> ≠ 0);<lb/></p> </div> </div> </div> </body> </text> </TEI> [293/0317]
§ 46. Aufgabe von Mitchell.
Prozesse zur Verdeutlichung hier ausführlichst dargelegt; der auch nur
einigermassen geübte Rechner wird natürlich viel weniger anzuschreiben
benötigt sein].
Das dritte Glied wird ebenso:
{(b + c1) y x = 0} {a y1 x ≠ 0}  {a y1 (y1 + b1 c) ≠ 0} = (a y1 ≠ 0)  (a ≠ 0).
Endlich wird das vierte Glied — nach § 41, η):
{a y1 x ≠ 0} {b y x ≠ 0}  (a y1 ≠ 0) (b y ≠ 0)  (a ≠ 0) (b ≠ 0) K,
wo die „Klausel“ K die Forderung kürzehalber vorstellen soll, dass
die Klassen a und b nicht zugleich einunddasselbe Individuum (ausschliess-
lich) vorstellen dürfen. Obwol dieses Thema noch nicht systematisch
behandelt ist, vielmehr erst in § 49 in Angriff genommen wird, sieht
man hier bei einigem Nachdenken doch leicht direkt ein, dass diese
Forderung unerlässlich und hinreichend ist, damit es ein y geben
könne und müsse, welches (bei nicht verschwindenden a und b) die
Relationen a y1 ≠ 0 und b y ≠ 0 gleichzeitig erfüllt.
Darnach sind die Data des Problems  der Summe unsrer vier
Resultanten, somit:
 (d  b1 c) + (b ≠ 0) + (a ≠ 0) + (a ≠ 0) (b ≠ 0) K
wo nun aber der letzte Term von den zwei vorhergehenden absorbirt
wird — ein Zufall, der Herrn Mitchell’s Lösung zugute kommt.
Mithin ist
(b d = 0) (d  c) + (a + b ≠ 0) = i
die gesuchte Konklusion und zwar die volle Eliminationsresultante für
x, y. In Worten:
Entweder kein d ist b und alle d sind c (d. h. alle d sind c aber
nicht b), oder es gibt a oder b.
Fernere Elimination von c würde blos noch den Wegfall des
Faktors (d  c) in obiger Resultante bewirken.
Wer mit rechts auf 1 gebrachten Gleichungen zu operiren vorzieht,
hat für das erste, zweite und dritte Glied bezüglich die Ansätze zu machen:
(d1 + x y = 1) (x1 + y1 + b1 c = 1) = {d1 (x1 + y1) + b1 c x y = 1}  (d1 + b1 c = 1)
wo beim Ausmultipliziren der beiden Polynome zur Linken das Glied b1 c d1
absorbirt wurde; resp.:
(d1 + x y = 1) (b x y ≠ 0) = {(d1 + y) x + d1 x1 = 1} (b y x + 0 · x1 ≠ 0) 
 (d1 + y + d1 = 1) {b y (d1 + y) + 0 · d1 ≠ 0} = (d1 + y = 1) (b y ≠ 0) =
= (1 · y + d1 y1 = 1) (b y + 0 · y1 ≠ 0)  (1 + d1 = 1) (b · 1 + 0 · d1 ≠ 0) = (b ≠ 0);
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 293. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/317>, abgerufen am 18.02.2025. |