Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

§ 46. Hülfssatz zum Hauber’schen Satze.

(x + y + z ⊆ a + b + c) (u ⊆ d) (a d + b d + c d = 0) ⊆ (x u + y u + z u = 0)
nachdem
(a d + b d + c d = 0) = (a d = 0) (b d = 0) (c d = 0)
und
(x u + y u + z u = 0) = (x u = 0) (y u = 0) (z u = 0)
eingesetzt sind, mit der für drei Symbolpaare vorhin bewiesenen Subsum-
tion — γ) ohne die Punkte — überschiebend zu multipliziren, beachtend,
dass dann links der Faktor (x + y + z ⊆ a + b + c) von den ohnehin vor-
handenen Faktoren (x ⊆ a) (y ⊆ b) (z ⊆ c), aus deren Produkt er ja von
selbst mit folgt, überflüssig gemacht, verschluckt wird.

Und so weiter. —

Endlich mögen wir aber, nachdem für zwei Symbolpaare der Satz
unter α) schon bewiesen ist, denselben für eine unbestimmte Menge solcher
auch apagogisch beweisen. Ich führe dies um so lieber aus, als von ver-
schiednen Seiten das Nichtvorkommen apagogischer Beweisführungen gerade
in der Logik selbst schon mit Befremden konstatirt worden ist. Zudem
eröffnen die Betrachtungen in ihrem ersten Teil uns neue Gesichtspunkte:

Zunächst lässt das Theorem α) sich auch in der Gestalt schreiben:
δ) (x y ≠ 0) (x ⊆ a) (y ⊆ b) ⊆ (a b ≠ 0)
indem man etwa — konform den Ausführungen am Schlusse des § 31
— die Subsumtion α) durch Herübernehmen ihrer rechten Seite erst
in eine Inkonsistenz umschreibt und diese durch Hinüberwerfen ihres
Gleichung-faktors wieder in eine Subsumtion umwandelt, oder auch,
indem man mit einem Schlage gemäss dem unter Th. 4̅1̅) mitgegebenen
Schema: (A B ⊆ C) = (A C₁ ⊆ B₁) die beiden Terme in α), welche
Gleichungen sind, als Ungleichungen auf die andere Seite bringt.

Nebenbei sei hier darauf aufmerksam gemacht dass diese Formel
δ) regelrechtes Exempel ist eines „zusammengesetzten Syllogismus“,
und zwar eines solchen mit drei Prämissen und den beiden Mittel-
oder besser gesagt „Zwischen-Gliedern“ x und y, lautend: Einige x
sind y, alle x sind a, alle y sind b, ergo: einige a sind b.

Das gleiche ist auch mit α) der Fall, nur dass hier als die Zwischen-
glieder, Eliminanden a und b erscheinen; dieser Syllogismus würde lauten:
Alle x sind a, alle y sind b, kein a ist b, ergo: kein x ist y.

Hier wäre schon Boole’s Th. 50₊) zum Vollzug der Elimination (von
a und b aus der vereinigten Gleichung der Prämissen x a₁ + y b₁ + a b = 0)
ausreichend.

Es kann dieser Schluss deshalb auch durch unsre allgemeine Eli-
minationsmethode, etwa nach dem Schema ι) des § 41 gewonnen und
gerechtfertigt werden, wobei sich herausstellt, dass die Konklusion als
die volle Resultante der Elimination der Zwischenglieder zu bezeichnen.