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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Einundzwanzigste Vorlesung.

Um dies behufs Illustration jener Methode systematisch durchzuführen,
wird man links in d) die beiden Subsumtionen in ihre vereinigte Gleichung
zusammenziehen, wonach die Voraussetzung des behaupteten Th. d) lautet:
(a1 x + b1 y = 0) (x y 0),
oder, wenn wir dieselbe jetzt für die regelrechte Elimination von y prä-
pariren: {(a1 x + b1) y + a1 x y1 = 0} {x y + 0 · y1 0}.
Hieraus nach dem Schema y eliminirt, gibt:
{(a1 x + b1) · a1 x = 0} {x · (a + x1) b + 0 · (a + x1) 0},
oder (a1 x + 0 · x1 = 0) (a b x + 0 · x1 0)
und hieraus endlich x eliminirt, gibt:
(a1 · 0 = 0) (a b · a + 0 · 1 0),
das ist a b 0, wie zu zeigen war -- indem die erste Faktoraussage,
welche den Boole'schen Bestandteil der Resultante vorstellt, als identisch
erfüllte, nämlich als (0 = 0) = i, zu unterdrücken war.

Somit in der Lage, uns auf das Theorem d) berufen zu dürfen,
mögen wir das allgemeine Theorem g) nunmehr leicht wie folgt in-
direkt beweisen.

Gesetzt das Produkt irgend zweier Symbole aus der Reihe x, y, z, ...
sei (unter den Voraussetzungen des Theorems g) nicht gleich O, so mögen
wir unter x und y uns ebendiese beiden vorstellen und werden also x y 0
haben. Halten wir dieses Ergebniss zusammen mit den beiden unter den
Voraussetzungen des Theorems befindlichen Subsumtionen x a und y b,
so erkennen wir die Voraussetzungen des Theorems d) als augenscheinlich
erfüllte und sind wir nach diesem zu der Folgerung berechtigt, dass
a b 0 sein müsse.

Diese Folgerung widerspricht aber der unter den Daten des Theorems
g) befindlichen Voraussetzung, dass a b = 0 sei, und war folglich jene An-
nahme x y 0 eine unzulässige; es muss vielmehr x y = 0 sein, welches
Wertepaar aus der Reihe x, y, z, ... wir auch unter x und y uns vor-
stellen mögen, q. e. d.

Die Ausdrucksformen unsres Satzes betreffend kann man in g)
auch die Gleichungsfaktoren links und rechts je in eine einzige Faktor-
gleichung gemäss Th. 24+) zusammenziehen, sodass die Formel lautet:
e) (a b + a c + b c + ... = 0) (x a) (y b) (z c) ... (x y + x z + y z + ... = 0)

Dem Polynom dieser Gleichung konnte man -- bei Benutzung vor-
stehender Form -- in unserm obigen rekurrenten Beweise dann dasjenige
jeder noch weiter als Faktor hinzutretenden (rechts 0 habenden) Gleichung
unmittelbar angliedern.

Einundzwanzigste Vorlesung.

Um dies behufs Illustration jener Methode systematisch durchzuführen,
wird man links in δ) die beiden Subsumtionen in ihre vereinigte Gleichung
zusammenziehen, wonach die Voraussetzung des behaupteten Th. δ) lautet:
(a1 x + b1 y = 0) (x y ≠ 0),
oder, wenn wir dieselbe jetzt für die regelrechte Elimination von y prä-
pariren: {(a1 x + b1) y + a1 x y1 = 0} {x y + 0 · y1 ≠ 0}.
Hieraus nach dem Schema y eliminirt, gibt:
{(a1 x + b1) · a1 x = 0} {x · (a + x1) b + 0 · (a + x1) ≠ 0},
oder (a1 x + 0 · x1 = 0) (a b x + 0 · x1 ≠ 0)
und hieraus endlich x eliminirt, gibt:
(a1 · 0 = 0) (a b · a + 0 · 1 ≠ 0),
das ist a b ≠ 0, wie zu zeigen war — indem die erste Faktoraussage,
welche den Boole’schen Bestandteil der Resultante vorstellt, als identisch
erfüllte, nämlich als (0 = 0) = i, zu unterdrücken war.

Somit in der Lage, uns auf das Theorem δ) berufen zu dürfen,
mögen wir das allgemeine Theorem γ) nunmehr leicht wie folgt in-
direkt beweisen.

Gesetzt das Produkt irgend zweier Symbole aus der Reihe x, y, z, …
sei (unter den Voraussetzungen des Theorems γ) nicht gleich O, so mögen
wir unter x und y uns ebendiese beiden vorstellen und werden also x y ≠ 0
haben. Halten wir dieses Ergebniss zusammen mit den beiden unter den
Voraussetzungen des Theorems befindlichen Subsumtionen x ⊆ a und y ⊆ b,
so erkennen wir die Voraussetzungen des Theorems δ) als augenscheinlich
erfüllte und sind wir nach diesem zu der Folgerung berechtigt, dass
a b ≠ 0 sein müsse.

Diese Folgerung widerspricht aber der unter den Daten des Theorems
γ) befindlichen Voraussetzung, dass a b = 0 sei, und war folglich jene An-
nahme x y ≠ 0 eine unzulässige; es muss vielmehr x y = 0 sein, welches
Wertepaar aus der Reihe x, y, z, … wir auch unter x und y uns vor-
stellen mögen, q. e. d.

Die Ausdrucksformen unsres Satzes betreffend kann man in γ)
auch die Gleichungsfaktoren links und rechts je in eine einzige Faktor-
gleichung gemäss Th. 24+) zusammenziehen, sodass die Formel lautet:
ε) (a b + a c + b c + … = 0) (x ⊆ a) (y ⊆ b) (z ⊆ c) … ⊆ (x y + x z + y z + … = 0)

Dem Polynom dieser Gleichung konnte man — bei Benutzung vor-
stehender Form — in unserm obigen rekurrenten Beweise dann dasjenige
jeder noch weiter als Faktor hinzutretenden (rechts 0 habenden) Gleichung
unmittelbar angliedern.

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[284/0308] Einundzwanzigste Vorlesung. Um dies behufs Illustration jener Methode systematisch durchzuführen, wird man links in δ) die beiden Subsumtionen in ihre vereinigte Gleichung zusammenziehen, wonach die Voraussetzung des behaupteten Th. δ) lautet: (a1 x + b1 y = 0) (x y ≠ 0), oder, wenn wir dieselbe jetzt für die regelrechte Elimination von y prä- pariren: {(a1 x + b1) y + a1 x y1 = 0} {x y + 0 · y1 ≠ 0}. Hieraus nach dem Schema y eliminirt, gibt: {(a1 x + b1) · a1 x = 0} {x · (a + x1) b + 0 · (a + x1) ≠ 0}, oder (a1 x + 0 · x1 = 0) (a b x + 0 · x1 ≠ 0) und hieraus endlich x eliminirt, gibt: (a1 · 0 = 0) (a b · a + 0 · 1 ≠ 0), das ist a b ≠ 0, wie zu zeigen war — indem die erste Faktoraussage, welche den Boole’schen Bestandteil der Resultante vorstellt, als identisch erfüllte, nämlich als (0 = 0) = i, zu unterdrücken war. Somit in der Lage, uns auf das Theorem δ) berufen zu dürfen, mögen wir das allgemeine Theorem γ) nunmehr leicht wie folgt in- direkt beweisen. Gesetzt das Produkt irgend zweier Symbole aus der Reihe x, y, z, … sei (unter den Voraussetzungen des Theorems γ) nicht gleich O, so mögen wir unter x und y uns ebendiese beiden vorstellen und werden also x y ≠ 0 haben. Halten wir dieses Ergebniss zusammen mit den beiden unter den Voraussetzungen des Theorems befindlichen Subsumtionen x  a und y  b, so erkennen wir die Voraussetzungen des Theorems δ) als augenscheinlich erfüllte und sind wir nach diesem zu der Folgerung berechtigt, dass a b ≠ 0 sein müsse. Diese Folgerung widerspricht aber der unter den Daten des Theorems γ) befindlichen Voraussetzung, dass a b = 0 sei, und war folglich jene An- nahme x y ≠ 0 eine unzulässige; es muss vielmehr x y = 0 sein, welches Wertepaar aus der Reihe x, y, z, … wir auch unter x und y uns vor- stellen mögen, q. e. d. Die Ausdrucksformen unsres Satzes betreffend kann man in γ) auch die Gleichungsfaktoren links und rechts je in eine einzige Faktor- gleichung gemäss Th. 24+) zusammenziehen, sodass die Formel lautet: ε) (a b + a c + b c + … = 0) (x  a) (y  b) (z  c) …  (x y + x z + y z + … = 0) Dem Polynom dieser Gleichung konnte man — bei Benutzung vor- stehender Form — in unserm obigen rekurrenten Beweise dann dasjenige jeder noch weiter als Faktor hinzutretenden (rechts 0 habenden) Gleichung unmittelbar angliedern.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 284. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/308>, abgerufen am 11.05.2024.