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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 40. Aufbau der Gesamtaussage des Prämissensystems.
ihm das Bindewort "oder" als das miteinschliessende, inklusive gemäss
§ 8, th) ausgelegt wird -- sonach genauer als verneinte "Alternative".]

Von den Einzelaussagen unsres "Prämissensystems" können endlich
irgend welche mittelst der Konjunktionen
"Wenn ..., so ..."
verknüpft erscheinen zu sog. "hypothetischen Urteilen" und wird damit
die Annahme oder Verwerfung der einen abhängig gemacht von der-
jenigen der andern.

Sooft solches bei zwei Aussagen A, B zu erblicken ist, so kann
das hypothetische Urteil (bekanntlich) nach einem der folgenden (acht)
Schemata in eine Relation (und zwar entweder Gleichung oder Un-
gleichung) des Aussagenkalkuls umgeschrieben werden:

Wenn A gilt, so gilt (stets) B, gibt:
l) A B oder A B1 = 0.

Wenn A gilt, so gilt (stets) B nicht, gibt:
m) A B1 oder A B = 0.

Wenn A gilt, so gilt manchmal B, gäbe:
n) A B 0.

Wenn A gilt, so gilt B manchmal nicht, gäbe:
x) A B1 0.
o) Heisst aber der Vordersatz: "Wenn A nicht gilt", so ist in diesen
Formeln nur A durch A1 zu ersetzen.
"A gilt, ausser wenn B gilt" gibt z. B. hienach: B1 A. Etc.

So wenigstens, wenn das Urteil "Wenn A gilt, so gilt B" in dem
in § 28 schärfer als im gewöhnlichen Leben präzisirten Sinne ge-
nommen wird, wobei auch der Fall, wo A überhaupt nicht gilt, mit
seine Berücksichtigung findet.

Soll über letzteren Fall, in welchem A die Nullaussage vorstellt, nicht
mit ausgesagt werden -- wie dies bei den meisten Urteilen im gewöhn-
lichen Leben vorkommen mag -- so schadet es wenigstens nicht, diese
Nullaussage in den Bedingungssatz A noch mit einzubeziehen als einen
wesentlich irrelevanten, nämlich "nichtssagenden" Fall, in welchem wir nur
eben durch die Konsequenz gezwungen sind, das hypothetische Urteil A B
als erfüllt anzuerkennen.

Sollte dieses Urteil auch eine Voraussetzung bilden, an welche der
Folgesatz B ausdrücklich nur dann zu knüpfen ist, wenn die Voraussetzung
A wirklich zutrifft, so hindert allerdings nichts, dieser Voraussetzung den
Faktor A 0 beizufügen, also mit A (A 0) B das hypothetische Urteil
zu übersetzen. Bei konstantem Sinn der Aussagen wird jedoch
(A 0) = (A = i) = A

§ 40. Aufbau der Gesamtaussage des Prämissensystems.
ihm das Bindewort „oder“ als das miteinschliessende, inklusive gemäss
§ 8, ϑ) ausgelegt wird — sonach genauer als verneinte „Alternative“.]

Von den Einzelaussagen unsres „Prämissensystems“ können endlich
irgend welche mittelst der Konjunktionen
„Wenn …, so …“
verknüpft erscheinen zu sog. „hypothetischen Urteilen“ und wird damit
die Annahme oder Verwerfung der einen abhängig gemacht von der-
jenigen der andern.

Sooft solches bei zwei Aussagen A, B zu erblicken ist, so kann
das hypothetische Urteil (bekanntlich) nach einem der folgenden (acht)
Schemata in eine Relation (und zwar entweder Gleichung oder Un-
gleichung) des Aussagenkalkuls umgeschrieben werden:

Wenn A gilt, so gilt (stets) B, gibt:
λ) A ⊆ B oder A B1 = 0.

Wenn A gilt, so gilt (stets) B nicht, gibt:
μ) A ⊆ B1 oder A B = 0.

Wenn A gilt, so gilt manchmal B, gäbe:
ν) A B ≠ 0.

Wenn A gilt, so gilt B manchmal nicht, gäbe:
ξ) A B1 ≠ 0.
ο) Heisst aber der Vordersatz: „Wenn A nicht gilt“, so ist in diesen
Formeln nur A durch A1 zu ersetzen.
„A gilt, ausser wenn B gilt“ gibt z. B. hienach: B1 ⊆ A. Etc.

So wenigstens, wenn das Urteil „Wenn A gilt, so gilt B“ in dem
in § 28 schärfer als im gewöhnlichen Leben präzisirten Sinne ge-
nommen wird, wobei auch der Fall, wo A überhaupt nicht gilt, mit
seine Berücksichtigung findet.

Soll über letzteren Fall, in welchem A die Nullaussage vorstellt, nicht
mit ausgesagt werden — wie dies bei den meisten Urteilen im gewöhn-
lichen Leben vorkommen mag — so schadet es wenigstens nicht, diese
Nullaussage in den Bedingungssatz A noch mit einzubeziehen als einen
wesentlich irrelevanten, nämlich „nichtssagenden“ Fall, in welchem wir nur
eben durch die Konsequenz gezwungen sind, das hypothetische Urteil A ⊆ B
als erfüllt anzuerkennen.

Sollte dieses Urteil auch eine Voraussetzung bilden, an welche der
Folgesatz B ausdrücklich nur dann zu knüpfen ist, wenn die Voraussetzung
A wirklich zutrifft, so hindert allerdings nichts, dieser Voraussetzung den
Faktor A ≠ 0 beizufügen, also mit A (A ≠ 0) ⊆ B das hypothetische Urteil
zu übersetzen. Bei konstantem Sinn der Aussagen wird jedoch
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[185/0209] § 40. Aufbau der Gesamtaussage des Prämissensystems. ihm das Bindewort „oder“ als das miteinschliessende, inklusive gemäss § 8, ϑ) ausgelegt wird — sonach genauer als verneinte „Alternative“.] Von den Einzelaussagen unsres „Prämissensystems“ können endlich irgend welche mittelst der Konjunktionen „Wenn …, so …“ verknüpft erscheinen zu sog. „hypothetischen Urteilen“ und wird damit die Annahme oder Verwerfung der einen abhängig gemacht von der- jenigen der andern. Sooft solches bei zwei Aussagen A, B zu erblicken ist, so kann das hypothetische Urteil (bekanntlich) nach einem der folgenden (acht) Schemata in eine Relation (und zwar entweder Gleichung oder Un- gleichung) des Aussagenkalkuls umgeschrieben werden: Wenn A gilt, so gilt (stets) B, gibt: λ) A  B oder A B1 = 0. Wenn A gilt, so gilt (stets) B nicht, gibt: μ) A  B1 oder A B = 0. Wenn A gilt, so gilt manchmal B, gäbe: ν) A B ≠ 0. Wenn A gilt, so gilt B manchmal nicht, gäbe: ξ) A B1 ≠ 0. ο) Heisst aber der Vordersatz: „Wenn A nicht gilt“, so ist in diesen Formeln nur A durch A1 zu ersetzen. „A gilt, ausser wenn B gilt“ gibt z. B. hienach: B1  A. Etc. So wenigstens, wenn das Urteil „Wenn A gilt, so gilt B“ in dem in § 28 schärfer als im gewöhnlichen Leben präzisirten Sinne ge- nommen wird, wobei auch der Fall, wo A überhaupt nicht gilt, mit seine Berücksichtigung findet. Soll über letzteren Fall, in welchem A die Nullaussage vorstellt, nicht mit ausgesagt werden — wie dies bei den meisten Urteilen im gewöhn- lichen Leben vorkommen mag — so schadet es wenigstens nicht, diese Nullaussage in den Bedingungssatz A noch mit einzubeziehen als einen wesentlich irrelevanten, nämlich „nichtssagenden“ Fall, in welchem wir nur eben durch die Konsequenz gezwungen sind, das hypothetische Urteil A  B als erfüllt anzuerkennen. Sollte dieses Urteil auch eine Voraussetzung bilden, an welche der Folgesatz B ausdrücklich nur dann zu knüpfen ist, wenn die Voraussetzung A wirklich zutrifft, so hindert allerdings nichts, dieser Voraussetzung den Faktor A ≠ 0 beizufügen, also mit A (A ≠ 0)  B das hypothetische Urteil zu übersetzen. Bei konstantem Sinn der Aussagen wird jedoch (A ≠ 0) = (A = i) = A

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 185. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/209>, abgerufen am 05.05.2024.