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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.

Bei Einrechnung der identischen und Ausschluss der absurden Aussage
gibt also die Zahl:
1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47
die Antwort auf die gestellte Frage. --

Nachdem freilich Tafel XXVII0 gewonnen ist, lässt sich die Frage am
allerbequemsten erledigen, indem man diejenigen von den 165 Ausdrücken
der Tafel aufsucht, welche lediglich (vergl. h, k, m, n in XVII0) aus den
acht Monomen a c, a b, c l, b l, a c b, a c l, a b l, c b l additiv aufgebaut er-
scheinen. Man findet deren bezüglich 12, 29 und 5 auf den drei Seiten
über die sich die Tafel erstreckt.

Nach diesem Exkurse wenden wir uns nunmehr dem allgemeineren
Probleme zu.

Problem. Gesucht die Anzahl der inhaltlich verschiedenen Urteile
(Aussagen), welche die formale Logik zu fällen (abzugeben) vermag über
n Begriffe (Klassen).

Nach Herrn Peano 1 lautet die Lösung:
[Formel 1] .

Für*) n = 1 berechnet sich dies zu:
[Formel 2] ,
und in der That sind folgende sieben:
0 = 0, A = 0, A = 1, A 0, A 1, (A = 0) + (A = 1), (A 0) (A 1)
die über eine Klasse A ausschliesslich fällbaren Urteile, deren letzte
sechs jedoch auch in den bezüglich äquivalenten Formen statuirt werden
könnten:
A1 = 1, A1 = 0, A1 1, A1 0, (A1 = 1) + (A1 = 0), (A1 1) (A1 0),
(A = 0) + (A1 = 0), (A 0) (A1 0),
(A1 = 1) + (A = 1), (A1 1) (A 1).

Um jenes nachzuweisen, braucht man sich blos davon zu über-
zeugen, dass (in unsrer früheren Bezeichnung) die sieben Aussagen
i, h, m, h1, m1, h + m, h1 m1
zusammen mit der unzulässigen weil absurden Aussage 0 eine "Gruppe"
bilden, und gelingt dieser Nachweis leicht bei Berücksichtigung der in
Tafel XV0 schon mit aufgeführten Hülfssätze:
h m = 0, h m1 = h, h1 m = m, h + m1 = m1, h1 + m = h1, h1 + m1 = i

*) Will man nicht verwenden, so ist von der frühern Bedeutung des n
als einer Aussage zeitweilig abzusehen.
Achtzehnte Vorlesung.

Bei Einrechnung der identischen und Ausschluss der absurden Aussage
gibt also die Zahl:
1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47
die Antwort auf die gestellte Frage. —

Nachdem freilich Tafel XXVII0 gewonnen ist, lässt sich die Frage am
allerbequemsten erledigen, indem man diejenigen von den 165 Ausdrücken
der Tafel aufsucht, welche lediglich (vergl. h, k, m, n in XVII0) aus den
acht Monomen a c, a b, c l, b l, a c b, a c l, a b l, c b l additiv aufgebaut er-
scheinen. Man findet deren bezüglich 12, 29 und 5 auf den drei Seiten
über die sich die Tafel erstreckt.

Nach diesem Exkurse wenden wir uns nunmehr dem allgemeineren
Probleme zu.

Problem. Gesucht die Anzahl der inhaltlich verschiedenen Urteile
(Aussagen), welche die formale Logik zu fällen (abzugeben) vermag über
n Begriffe (Klassen).

Nach Herrn Peano 1 lautet die Lösung:
[Formel 1] .

Für*) n = 1 berechnet sich dies zu:
[Formel 2] ,
und in der That sind folgende sieben:
0 = 0, A = 0, A = 1, A ≠ 0, A ≠ 1, (A = 0) + (A = 1), (A ≠ 0) (A ≠ 1)
die über eine Klasse A ausschliesslich fällbaren Urteile, deren letzte
sechs jedoch auch in den bezüglich äquivalenten Formen statuirt werden
könnten:
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(A1 = 1) + (A = 1), (A1 ≠ 1) (A ≠ 1).

Um jenes nachzuweisen, braucht man sich blos davon zu über-
zeugen, dass (in unsrer früheren Bezeichnung) die sieben Aussagen
i, h, m, h1, m1, h + m, h1 m1
zusammen mit der unzulässigen weil absurden Aussage 0 eine „Gruppe“
bilden, und gelingt dieser Nachweis leicht bei Berücksichtigung der in
Tafel XV0 schon mit aufgeführten Hülfssätze:
h m = 0, h m1 = h, h1 m = m, h + m1 = m1, h1 + m = h1, h1 + m1 = i

*) Will man nicht 𝔫 verwenden, so ist von der frühern Bedeutung des n
als einer Aussage zeitweilig abzusehen.
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[168/0192] Achtzehnte Vorlesung. Bei Einrechnung der identischen und Ausschluss der absurden Aussage gibt also die Zahl: 1 + 8 + 20 + 16 + 2 = 47 die Antwort auf die gestellte Frage. — Nachdem freilich Tafel XXVII0 gewonnen ist, lässt sich die Frage am allerbequemsten erledigen, indem man diejenigen von den 165 Ausdrücken der Tafel aufsucht, welche lediglich (vergl. h, k, m, n in XVII0) aus den acht Monomen a c, a b, c l, b l, a c b, a c l, a b l, c b l additiv aufgebaut er- scheinen. Man findet deren bezüglich 12, 29 und 5 auf den drei Seiten über die sich die Tafel erstreckt. Nach diesem Exkurse wenden wir uns nunmehr dem allgemeineren Probleme zu. Problem. Gesucht die Anzahl der inhaltlich verschiedenen Urteile (Aussagen), welche die formale Logik zu fällen (abzugeben) vermag über n Begriffe (Klassen). Nach Herrn Peano 1 lautet die Lösung: [FORMEL]. Für *) n = 1 berechnet sich dies zu: [FORMEL], und in der That sind folgende sieben: 0 = 0, A = 0, A = 1, A ≠ 0, A ≠ 1, (A = 0) + (A = 1), (A ≠ 0) (A ≠ 1) die über eine Klasse A ausschliesslich fällbaren Urteile, deren letzte sechs jedoch auch in den bezüglich äquivalenten Formen statuirt werden könnten: A1 = 1, A1 = 0, A1 ≠ 1, A1 ≠ 0, (A1 = 1) + (A1 = 0), (A1 ≠ 1) (A1 ≠ 0), (A = 0) + (A1 = 0), (A ≠ 0) (A1 ≠ 0), (A1 = 1) + (A = 1), (A1 ≠ 1) (A ≠ 1). Um jenes nachzuweisen, braucht man sich blos davon zu über- zeugen, dass (in unsrer früheren Bezeichnung) die sieben Aussagen i, h, m, h1, m1, h + m, h1 m1 zusammen mit der unzulässigen weil absurden Aussage 0 eine „Gruppe“ bilden, und gelingt dieser Nachweis leicht bei Berücksichtigung der in Tafel XV0 schon mit aufgeführten Hülfssätze: h m = 0, h m1 = h, h1 m = m, h + m1 = m1, h1 + m = h1, h1 + m1 = i *) Will man nicht 𝔫 verwenden, so ist von der frühern Bedeutung des n als einer Aussage zeitweilig abzusehen.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 168. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/192>, abgerufen am 25.11.2024.