Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.§ 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen. welche übrigens sämtlich nur als Umschreibungen der ersten un-mittelbar einleuchtenden Inkonsistenz nämlich (A = 0) (A = 1) = 0 erscheinen. Von vornherein, nämlich sofern Erwähnung jeder andern Klasse Die vier primitiven Aussagen h, m, h1, m1 würden in Worten sich h = (A = 0) = Es gibt keine A = Nichts ist A; m = (A = 1) = Es gibt nichts, was nicht A wäre = Alles ist A; h1 = (A 0) = Es gibt A = Etwas (Einiges) ist A; m1 = (A 1) = Es gibt Nicht-A's = Nicht alles ist A = Etwas ist nicht A. Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile h1 m1 Von jenen vier primitiven Aussagen sind aber zweie die Negation Die Gesamtheit i aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten Von diesen drei Konstituenten (wo die 3 augenscheinlich entstand § 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen. welche übrigens sämtlich nur als Umschreibungen der ersten un-mittelbar einleuchtenden Inkonsistenz nämlich (A = 0) (A = 1) = 0 erscheinen. Von vornherein, nämlich sofern Erwähnung jeder andern Klasse Die vier primitiven Aussagen h, m, h1, m1 würden in Worten sich h = (A = 0) = Es gibt keine A = Nichts ist A; m = (A = 1) = Es gibt nichts, was nicht A wäre = Alles ist A; h1 = (A ≠ 0) = Es gibt A = Etwas (Einiges) ist A; m1 = (A ≠ 1) = Es gibt Nicht-A’s = Nicht alles ist A = Etwas ist nicht A. Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile h1 m1 Von jenen vier primitiven Aussagen sind aber zweie die Negation Die Gesamtheit i aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten Von diesen drei Konstituenten (wo die 3 augenscheinlich entstand <TEI> <text> <body> <div n="1"> <div n="2"> <div n="3"> <p><pb facs="#f0193" n="169"/><fw place="top" type="header">§ 39. 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§ 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen.
welche übrigens sämtlich nur als Umschreibungen der ersten un-
mittelbar einleuchtenden Inkonsistenz nämlich (A = 0) (A = 1) = 0
erscheinen.
Von vornherein, nämlich sofern Erwähnung jeder andern Klasse
neben A ausgeschlossen, verboten ist, lassen sich als „primitive“
Urteile über A offenbar nur solche Aussagen hinstellen, in welchen
behauptet erscheint, dass A (oder A1) gleich, oder ungleich, 0 oder 1
ist. Und aus diesen (scheinbar 8, wirklich 4) primitiven müssen alle
erdenklichen Aussagen sich mittelst der drei Spezies des Aussagen-
kalkuls alsdann zusammensetzen. Damit treten aber, wie erkannt, zu
ihnen nur noch zweie ausser der nichtssagenden oder identischen Aus-
sage i hinzu, und ist die Peano’sche Zahl erwiesen.
Die vier primitiven Aussagen h, m, h1, m1 würden in Worten sich
etwa wie folgt darstellen:
h = (A = 0) = Es gibt keine A = Nichts ist A;
m = (A = 1) = Es gibt nichts, was nicht A wäre = Alles ist A;
h1 = (A ≠ 0) = Es gibt A = Etwas (Einiges) ist A;
m1 = (A ≠ 1) = Es gibt Nicht-A’s = Nicht alles ist A = Etwas ist nicht A.
Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile h1 m1
und h + m in Worte zu kleiden.
Von jenen vier primitiven Aussagen sind aber zweie die Negation
der beiden andern. Jede Aussage über A allein kann also nur eine
Funktion im identischen Kalkul f (h, m) dieser beiden Argumente sein,
und lässt sich nach diesen entwickelt annehmen.
Die Gesamtheit i aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten
h, m entwickelt zerfällt aber nur in die drei Konstituenten:
i = h m1 + h1 m + h1 m1
sintemal h m = 0 sein, der erste Konstituent des allgemeinen Entwicke-
lungsschema’s also verschwinden muss.
Von diesen drei Konstituenten (wo die 3 augenscheinlich entstand
aus 22 — 1) kann in unsrer Entwickelung von f (h, m) ein jeder nur
entweder mit dem Koeffizienten 0 oder aber mit dem i auftreten.
Somit erhalten wir
2 × 2 × 2 = 23 = 8
Möglichkeiten. Von diesen ist jedoch die eine auszuschliessen, bei
welcher alle drei Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet
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Zitationshilfe: | Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 169. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/193>, abgerufen am 27.07.2024. |