Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Bild:
<< vorherige Seite

§ 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen.
welche übrigens sämtlich nur als Umschreibungen der ersten un-
mittelbar einleuchtenden Inkonsistenz nämlich (A = 0) (A = 1) = 0
erscheinen.

Von vornherein, nämlich sofern Erwähnung jeder andern Klasse
neben A ausgeschlossen, verboten ist, lassen sich als "primitive"
Urteile über A offenbar nur solche Aussagen hinstellen, in welchen
behauptet erscheint, dass A (oder A1) gleich, oder ungleich, 0 oder 1
ist. Und aus diesen (scheinbar 8, wirklich 4) primitiven müssen alle
erdenklichen Aussagen sich mittelst der drei Spezies des Aussagen-
kalkuls alsdann zusammensetzen. Damit treten aber, wie erkannt, zu
ihnen nur noch zweie ausser der nichtssagenden oder identischen Aus-
sage i hinzu, und ist die Peano'sche Zahl erwiesen.

Die vier primitiven Aussagen h, m, h1, m1 würden in Worten sich
etwa wie folgt darstellen:

h = (A = 0) = Es gibt keine A = Nichts ist A;
m = (A = 1) = Es gibt nichts, was nicht A wäre = Alles ist A;
h1 = (A 0) = Es gibt A = Etwas (Einiges) ist A;
m1 = (A 1) = Es gibt Nicht-A's = Nicht alles ist A = Etwas ist nicht A.

Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile h1 m1
und h + m in Worte zu kleiden.

Von jenen vier primitiven Aussagen sind aber zweie die Negation
der beiden andern. Jede Aussage über A allein kann also nur eine
Funktion im identischen Kalkul f (h, m) dieser beiden Argumente sein,
und lässt sich nach diesen entwickelt annehmen.

Die Gesamtheit i aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten
h, m entwickelt zerfällt aber nur in die drei Konstituenten:
i = h m1 + h1 m + h1 m1
sintemal h m = 0 sein, der erste Konstituent des allgemeinen Entwicke-
lungsschema's also verschwinden muss.

Von diesen drei Konstituenten (wo die 3 augenscheinlich entstand
aus 22 -- 1) kann in unsrer Entwickelung von f (h, m) ein jeder nur
entweder mit dem Koeffizienten 0 oder aber mit dem i auftreten.
Somit erhalten wir
2 x 2 x 2 = 23 = 8
Möglichkeiten. Von diesen ist jedoch die eine auszuschliessen, bei
welcher alle drei Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet

§ 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen.
welche übrigens sämtlich nur als Umschreibungen der ersten un-
mittelbar einleuchtenden Inkonsistenz nämlich (A = 0) (A = 1) = 0
erscheinen.

Von vornherein, nämlich sofern Erwähnung jeder andern Klasse
neben A ausgeschlossen, verboten ist, lassen sich als „primitive“
Urteile über A offenbar nur solche Aussagen hinstellen, in welchen
behauptet erscheint, dass A (oder A1) gleich, oder ungleich, 0 oder 1
ist. Und aus diesen (scheinbar 8, wirklich 4) primitiven müssen alle
erdenklichen Aussagen sich mittelst der drei Spezies des Aussagen-
kalkuls alsdann zusammensetzen. Damit treten aber, wie erkannt, zu
ihnen nur noch zweie ausser der nichtssagenden oder identischen Aus-
sage i hinzu, und ist die Peano’sche Zahl erwiesen.

Die vier primitiven Aussagen h, m, h1, m1 würden in Worten sich
etwa wie folgt darstellen:

h = (A = 0) = Es gibt keine A = Nichts ist A;
m = (A = 1) = Es gibt nichts, was nicht A wäre = Alles ist A;
h1 = (A ≠ 0) = Es gibt A = Etwas (Einiges) ist A;
m1 = (A ≠ 1) = Es gibt Nicht-A’s = Nicht alles ist A = Etwas ist nicht A.

Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile h1 m1
und h + m in Worte zu kleiden.

Von jenen vier primitiven Aussagen sind aber zweie die Negation
der beiden andern. Jede Aussage über A allein kann also nur eine
Funktion im identischen Kalkul f (h, m) dieser beiden Argumente sein,
und lässt sich nach diesen entwickelt annehmen.

Die Gesamtheit i aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten
h, m entwickelt zerfällt aber nur in die drei Konstituenten:
i = h m1 + h1 m + h1 m1
sintemal h m = 0 sein, der erste Konstituent des allgemeinen Entwicke-
lungsschema’s also verschwinden muss.

Von diesen drei Konstituenten (wo die 3 augenscheinlich entstand
aus 22 — 1) kann in unsrer Entwickelung von f (h, m) ein jeder nur
entweder mit dem Koeffizienten 0 oder aber mit dem i auftreten.
Somit erhalten wir
2 × 2 × 2 = 23 = 8
Möglichkeiten. Von diesen ist jedoch die eine auszuschliessen, bei
welcher alle drei Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <div n="3">
            <p><pb facs="#f0193" n="169"/><fw place="top" type="header">§ 39. Die möglichen Aussagen über <hi rendition="#i">n</hi> Klassen.</fw><lb/>
welche übrigens sämtlich nur als Umschreibungen der ersten un-<lb/>
mittelbar einleuchtenden Inkonsistenz nämlich (<hi rendition="#i">A</hi> = 0) (<hi rendition="#i">A</hi> = 1) = 0<lb/>
erscheinen.</p><lb/>
            <p>Von vornherein, nämlich sofern Erwähnung jeder andern Klasse<lb/>
neben <hi rendition="#i">A</hi> ausgeschlossen, verboten ist, lassen sich als &#x201E;primitive&#x201C;<lb/>
Urteile über <hi rendition="#i">A</hi> offenbar nur solche Aussagen hinstellen, in welchen<lb/>
behauptet erscheint, dass <hi rendition="#i">A</hi> (oder <hi rendition="#i">A</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) gleich, oder ungleich, 0 oder 1<lb/>
ist. Und aus diesen (scheinbar 8, wirklich 4) primitiven müssen alle<lb/>
erdenklichen Aussagen sich mittelst der drei Spezies des Aussagen-<lb/>
kalkuls alsdann zusammensetzen. Damit treten aber, wie erkannt, zu<lb/>
ihnen nur noch zweie ausser der nichtssagenden oder identischen Aus-<lb/>
sage i hinzu, und ist die <hi rendition="#g">Peano&#x2019;</hi>sche Zahl erwiesen.</p><lb/>
            <p>Die vier primitiven Aussagen <hi rendition="#i">h</hi>, <hi rendition="#i">m</hi>, <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">m</hi><hi rendition="#sub">1</hi> würden in Worten sich<lb/>
etwa wie folgt darstellen:</p><lb/>
            <list>
              <item><hi rendition="#i">h</hi> = (<hi rendition="#i">A</hi> = 0) = Es gibt keine <hi rendition="#i">A</hi> = Nichts ist <hi rendition="#i">A</hi>;</item><lb/>
              <item><hi rendition="#i">m</hi> = (<hi rendition="#i">A</hi> = 1) = Es gibt nichts, was nicht <hi rendition="#i">A</hi> wäre = Alles ist <hi rendition="#i">A</hi>;</item><lb/>
              <item><hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = (<hi rendition="#i">A</hi> &#x2260; 0) = Es gibt <hi rendition="#i">A</hi> = Etwas (Einiges) ist <hi rendition="#i">A</hi>;</item><lb/>
              <item><hi rendition="#i">m</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = (<hi rendition="#i">A</hi> &#x2260; 1) = Es gibt Nicht-<hi rendition="#i">A</hi>&#x2019;s = Nicht alles ist <hi rendition="#i">A</hi> = Etwas ist nicht <hi rendition="#i">A</hi>.</item>
            </list><lb/>
            <p>Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">m</hi><hi rendition="#sub">1</hi><lb/>
und <hi rendition="#i">h</hi> + <hi rendition="#i">m</hi> in Worte zu kleiden.</p><lb/>
            <p>Von jenen vier primitiven Aussagen sind aber zweie die Negation<lb/>
der beiden andern. Jede Aussage über <hi rendition="#i">A</hi> allein kann also nur eine<lb/>
Funktion im identischen Kalkul <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">h</hi>, <hi rendition="#i">m</hi>) dieser beiden Argumente sein,<lb/>
und lässt sich nach diesen entwickelt annehmen.</p><lb/>
            <p>Die Gesamtheit i aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten<lb/><hi rendition="#i">h</hi>, <hi rendition="#i">m</hi> entwickelt zerfällt aber nur in die drei Konstituenten:<lb/><hi rendition="#c">i = <hi rendition="#i">h m</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">m</hi> + <hi rendition="#i">h</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">m</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/>
sintemal <hi rendition="#i">h m</hi> = 0 sein, der erste Konstituent des allgemeinen Entwicke-<lb/>
lungsschema&#x2019;s also verschwinden muss.</p><lb/>
            <p>Von diesen drei Konstituenten (wo die 3 augenscheinlich entstand<lb/>
aus 2<hi rendition="#sup">2</hi> &#x2014; 1) kann in unsrer Entwickelung von <hi rendition="#i">f</hi> (<hi rendition="#i">h</hi>, <hi rendition="#i">m</hi>) ein jeder nur<lb/>
entweder mit dem Koeffizienten 0 oder aber mit dem i auftreten.<lb/>
Somit erhalten wir<lb/><hi rendition="#c">2 × 2 × 2 = 2<hi rendition="#sup">3</hi> = 8</hi><lb/>
Möglichkeiten. Von diesen ist jedoch die eine auszuschliessen, bei<lb/>
welcher alle drei Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet<lb/></p>
          </div>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[169/0193] § 39. Die möglichen Aussagen über n Klassen. welche übrigens sämtlich nur als Umschreibungen der ersten un- mittelbar einleuchtenden Inkonsistenz nämlich (A = 0) (A = 1) = 0 erscheinen. Von vornherein, nämlich sofern Erwähnung jeder andern Klasse neben A ausgeschlossen, verboten ist, lassen sich als „primitive“ Urteile über A offenbar nur solche Aussagen hinstellen, in welchen behauptet erscheint, dass A (oder A1) gleich, oder ungleich, 0 oder 1 ist. Und aus diesen (scheinbar 8, wirklich 4) primitiven müssen alle erdenklichen Aussagen sich mittelst der drei Spezies des Aussagen- kalkuls alsdann zusammensetzen. Damit treten aber, wie erkannt, zu ihnen nur noch zweie ausser der nichtssagenden oder identischen Aus- sage i hinzu, und ist die Peano’sche Zahl erwiesen. Die vier primitiven Aussagen h, m, h1, m1 würden in Worten sich etwa wie folgt darstellen: h = (A = 0) = Es gibt keine A = Nichts ist A; m = (A = 1) = Es gibt nichts, was nicht A wäre = Alles ist A; h1 = (A ≠ 0) = Es gibt A = Etwas (Einiges) ist A; m1 = (A ≠ 1) = Es gibt Nicht-A’s = Nicht alles ist A = Etwas ist nicht A. Und darnach sind auch leicht die beiden abgeleiteten Urteile h1 m1 und h + m in Worte zu kleiden. Von jenen vier primitiven Aussagen sind aber zweie die Negation der beiden andern. Jede Aussage über A allein kann also nur eine Funktion im identischen Kalkul f (h, m) dieser beiden Argumente sein, und lässt sich nach diesen entwickelt annehmen. Die Gesamtheit i aller Möglichkeiten nach denselben Argumenten h, m entwickelt zerfällt aber nur in die drei Konstituenten: i = h m1 + h1 m + h1 m1 sintemal h m = 0 sein, der erste Konstituent des allgemeinen Entwicke- lungsschema’s also verschwinden muss. Von diesen drei Konstituenten (wo die 3 augenscheinlich entstand aus 22 — 1) kann in unsrer Entwickelung von f (h, m) ein jeder nur entweder mit dem Koeffizienten 0 oder aber mit dem i auftreten. Somit erhalten wir 2 × 2 × 2 = 23 = 8 Möglichkeiten. Von diesen ist jedoch die eine auszuschliessen, bei welcher alle drei Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/193
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 169. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/193>, abgerufen am 15.04.2024.