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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
fallenden Aussagen rein universaler Natur sind, nämlich behufs ihrer
Statuirung mit dem Subsumtions- oder Gleichheitszeichen auskommen, ohne
die Anwendung eines Ungleichheits- oder auch negirten Subsumtionszeichens
zu erfordern, durch welche letztere ja sich uns stets partikulare Urteile
charakterisirten.

Die fraglichen "universalen zerfallenden" Aussagen werden am besten
wol wieder a priori aufgesucht.

Sie sind aus den Symbolen:
0, 1, h, k, m, n
lediglich durch Multiplikation und Addition -- unter Ausschluss jedoch der
Negation -- aufzubauen, und kommt es also darauf an, die Symbole dieser
Reihe zu einer "Gruppe" in Hinsicht blos jener beiden direkten Spezies zu
ergänzen.

Dies mag kunstlos wie folgt geschehen.

Wegen h m = 0 und k n = 0 treten als multiplikative Kombinationen
blos die vier binären (oder Binionen) hinzu:
h k, h n, k m, m n
während Ternionen und höhere multiplikative Kombinationen nicht vor-
kommen. In Hinsicht der Multiplikation allein bilden also die bisherigen
zehn Symbole bereits eine Gruppe, und sind zu einer solchen auch in Hin-
sicht der Addition nur mehr durch "Interaddiren" noch zu ergänzen, wobei
die Elemente 0 und 1 beiseite gelassen werden mögen.

Nun sieht man unschwer, dass von den aus den 8 übrigen Elementen
durch Addition zu bildenden
[Formel 1] = 28 Amben, [Formel 2] = 56 Ternen, [Formel 3] = 70 Quaternen
bezüglich 8, 40 und 68 auf Grund der Tautologie und Absorptionsgesetze
in Wegfall kommen, nämlich nichts Neues liefern, m. a. W. auf frühere
additive Kombinationen hinauslaufen müssen, mithin in der That nur hinzu-
kommen werden die
20 Amben:
h + k, h + m, h + n, k + m, k + n, m + n; h + k m, h + m n, h n + k, k + m n,
h k + m, h n + m, h k + n, k m + n; h (k + n), (h + m) k, h k + m n, h n + k m,
(h + m) n, (k + n) m,
16 Ternen:
h + k + m, h + k + n, h + m + n, h + k + m n, h + k m + n, h + (k + n) m,
k + m + n, h n + k + m, (h + m) n + k, h k + m + n, h (k + n) + m, (h + m) k + n;
h k + h n + k m, h k + h n + m n, h k + k m + m n, h n + k m + m n,
2 Quaternen:
h + k + m + n, (h + m) (k + n),

während höhere additive Kombinationen zu fünf oder mehrern zwischen
obigen acht monomischen Aussagen nicht in Betracht kommen können.

§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
fallenden Aussagen rein universaler Natur sind, nämlich behufs ihrer
Statuirung mit dem Subsumtions- oder Gleichheitszeichen auskommen, ohne
die Anwendung eines Ungleichheits- oder auch negirten Subsumtionszeichens
zu erfordern, durch welche letztere ja sich uns stets partikulare Urteile
charakterisirten.

Die fraglichen „universalen zerfallenden“ Aussagen werden am besten
wol wieder a priori aufgesucht.

Sie sind aus den Symbolen:
0, 1, h, k, m, n
lediglich durch Multiplikation und Addition — unter Ausschluss jedoch der
Negation — aufzubauen, und kommt es also darauf an, die Symbole dieser
Reihe zu einer „Gruppe“ in Hinsicht blos jener beiden direkten Spezies zu
ergänzen.

Dies mag kunstlos wie folgt geschehen.

Wegen h m = 0 und k n = 0 treten als multiplikative Kombinationen
blos die vier binären (oder Binionen) hinzu:
h k, h n, k m, m n
während Ternionen und höhere multiplikative Kombinationen nicht vor-
kommen. In Hinsicht der Multiplikation allein bilden also die bisherigen
zehn Symbole bereits eine Gruppe, und sind zu einer solchen auch in Hin-
sicht der Addition nur mehr durch „Interaddiren“ noch zu ergänzen, wobei
die Elemente 0 und 1 beiseite gelassen werden mögen.

Nun sieht man unschwer, dass von den aus den 8 übrigen Elementen
durch Addition zu bildenden
[Formel 1] = 28 Amben, [Formel 2] = 56 Ternen, [Formel 3] = 70 Quaternen
bezüglich 8, 40 und 68 auf Grund der Tautologie und Absorptionsgesetze
in Wegfall kommen, nämlich nichts Neues liefern, m. a. W. auf frühere
additive Kombinationen hinauslaufen müssen, mithin in der That nur hinzu-
kommen werden die
20 Amben:
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h + k + m, h + k + n, h + m + n, h + k + m n, h + k m + n, h + (k + n) m,
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während höhere additive Kombinationen zu fünf oder mehrern zwischen
obigen acht monomischen Aussagen nicht in Betracht kommen können.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 167. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/191>, abgerufen am 15.04.2024.