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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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a c (b + l) + b la (b + l) + c b + b l + l c
a b (c + l) + c la (c + l) + c b + b l + l c
a l (c + b) + c ba (c + b) + c b + b l + l c
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a (c b + b l + l c) + c b la (c + b + l) + c b + b l + l c

Dass die 165 Ausdrücke der vorstehenden Tafel "in Hinsicht der
Multiplikation sowol als der Addition" eine Gruppe bilden, nämlich dass
mittelst der beiden direkten Operationen des identischen Kalkuls durch Ver-
knüpfung irgendwelcher von ihnen kein Ausdruck gebildet werden kann, der
nicht einem unter ihnen identisch gleich sein müsste, ist oben zwar keines-
wegs mühelos erkannt worden.

Ohne Vergleich mühevoller dürfte es aber sein, diesen Nachweis der
erwähnten Gruppennatur unseres Systems von Ausdrücken direkt zu leisten,
indem man die Ausdrücke auf jede erdenkliche Weise zu zweien multi-
plizirte, desgleichen addirte. Dies würde 13 530 Operationen einer jeden
Sorte erfordern, von denen allerdings nach Konstatirung des im System
vorliegenden Dualismus die eine Sorte unterbleiben könnte, und die Menge
erforderlicher Operationen der andern Sorte durch Rücksichtnahme auf die
Symmetrie sich noch weiter reduziren lassen würde. Nicht ganz so hoff-
nungslos dürfte allerdings ein systematisches Interaddiren sein, angewendet
auf die 14 monomischen Produkte, S. 159, und, mit Rücksicht auf deren
Symmetrie in drei Abteilungen, so geführt, dass jeder neu gewonnene Typus
sogleich permutando mit allen seinen Repräsentanten angesetzt und nur
(passiv) mit jenen zu dem Prozess des Interaddirens herangezogen würde.

Dass die Aussagen sämtlich verschieden sind wäre unter anderm leicht
durch ihre Zerfällung in die 5 Elementarfächer zu erkennen. Diese liest
sich jedesmal leicht aus der Tafel S. 162 heraus, indem man den a als
Faktor enthaltenden Term des Ausdrucks in der zweiten Kolumne derselben
aufsucht, den andern Term in der ersten Kolumne; dann hat man nur noch
des letztern erstes Glied rechterhand additiv zu vermehren um das in der
Zeile jenes erstern Terms darüber oder darunter stehende. --

"In Hinsicht der Negation" bilden die 165 Ausdrücke keine Gruppe,
indem ihre Negationen sich sämtlich nicht in der Tafel vertreten finden.
Sie bilden also auch nicht eine "Gruppe" schlechtweg, in dem Sinne, wie
dieser Begriff eingangs des Anhangs 6 in Bd. 1 erklärt worden -- das
wäre: eine Gruppe "in Hinsicht aller drei Spezies des identischen Kalkuls".

Schliesslich werde die Frage beantwortet, wie viele von den gefundenen
166 rein universalen Aussagen "zerfallen", oder was auf dasselbe hinaus-
kommt, wie viele (und welche) von den weiter oben gefundenen 512 zer-

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Dass die 165 Ausdrücke der vorstehenden Tafel „in Hinsicht der
Multiplikation sowol als der Addition“ eine Gruppe bilden, nämlich dass
mittelst der beiden direkten Operationen des identischen Kalkuls durch Ver-
knüpfung irgendwelcher von ihnen kein Ausdruck gebildet werden kann, der
nicht einem unter ihnen identisch gleich sein müsste, ist oben zwar keines-
wegs mühelos erkannt worden.

Ohne Vergleich mühevoller dürfte es aber sein, diesen Nachweis der
erwähnten Gruppennatur unseres Systems von Ausdrücken direkt zu leisten,
indem man die Ausdrücke auf jede erdenkliche Weise zu zweien multi-
plizirte, desgleichen addirte. Dies würde 13 530 Operationen einer jeden
Sorte erfordern, von denen allerdings nach Konstatirung des im System
vorliegenden Dualismus die eine Sorte unterbleiben könnte, und die Menge
erforderlicher Operationen der andern Sorte durch Rücksichtnahme auf die
Symmetrie sich noch weiter reduziren lassen würde. Nicht ganz so hoff-
nungslos dürfte allerdings ein systematisches Interaddiren sein, angewendet
auf die 14 monomischen Produkte, S. 159, und, mit Rücksicht auf deren
Symmetrie in drei Abteilungen, so geführt, dass jeder neu gewonnene Typus
sogleich permutando mit allen seinen Repräsentanten angesetzt und nur
(passiv) mit jenen zu dem Prozess des Interaddirens herangezogen würde.

Dass die Aussagen sämtlich verschieden sind wäre unter anderm leicht
durch ihre Zerfällung in die 5 Elementarfächer zu erkennen. Diese liest
sich jedesmal leicht aus der Tafel S. 162 heraus, indem man den a als
Faktor enthaltenden Term des Ausdrucks in der zweiten Kolumne derselben
aufsucht, den andern Term in der ersten Kolumne; dann hat man nur noch
des letztern erstes Glied rechterhand additiv zu vermehren um das in der
Zeile jenes erstern Terms darüber oder darunter stehende. —

„In Hinsicht der Negation“ bilden die 165 Ausdrücke keine Gruppe,
indem ihre Negationen sich sämtlich nicht in der Tafel vertreten finden.
Sie bilden also auch nicht eine „Gruppe“ schlechtweg, in dem Sinne, wie
dieser Begriff eingangs des Anhangs 6 in Bd. 1 erklärt worden — das
wäre: eine Gruppe „in Hinsicht aller drei Spezies des identischen Kalkuls“.

Schliesslich werde die Frage beantwortet, wie viele von den gefundenen
166 rein universalen Aussagen „zerfallen“, oder was auf dasselbe hinaus-
kommt, wie viele (und welche) von den weiter oben gefundenen 512 zer-

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[166/0190] Achtzehnte Vorlesung. a c (b + l) + b l a (b + l) + c b + b l + l c a b (c + l) + c l a (c + l) + c b + b l + l c a l (c + b) + c b a (c + b) + c b + b l + l c a (c + b l) + c b l a (c + b + l) + (b + l) c a (b + c l) + c b l a (c + b + l) + (c + l) b a (l + c b) + c b l a (c + b + l) + (c + b) l a (c + b + l) + c b l, a (c + b l) + (b + l) c, a (b + c l) + (c + l) b, a (l + c b) + (c + b) l a (c b + b l + l c) + c b l a (c + b + l) + c b + b l + l c Dass die 165 Ausdrücke der vorstehenden Tafel „in Hinsicht der Multiplikation sowol als der Addition“ eine Gruppe bilden, nämlich dass mittelst der beiden direkten Operationen des identischen Kalkuls durch Ver- knüpfung irgendwelcher von ihnen kein Ausdruck gebildet werden kann, der nicht einem unter ihnen identisch gleich sein müsste, ist oben zwar keines- wegs mühelos erkannt worden. Ohne Vergleich mühevoller dürfte es aber sein, diesen Nachweis der erwähnten Gruppennatur unseres Systems von Ausdrücken direkt zu leisten, indem man die Ausdrücke auf jede erdenkliche Weise zu zweien multi- plizirte, desgleichen addirte. Dies würde 13 530 Operationen einer jeden Sorte erfordern, von denen allerdings nach Konstatirung des im System vorliegenden Dualismus die eine Sorte unterbleiben könnte, und die Menge erforderlicher Operationen der andern Sorte durch Rücksichtnahme auf die Symmetrie sich noch weiter reduziren lassen würde. Nicht ganz so hoff- nungslos dürfte allerdings ein systematisches Interaddiren sein, angewendet auf die 14 monomischen Produkte, S. 159, und, mit Rücksicht auf deren Symmetrie in drei Abteilungen, so geführt, dass jeder neu gewonnene Typus sogleich permutando mit allen seinen Repräsentanten angesetzt und nur (passiv) mit jenen zu dem Prozess des Interaddirens herangezogen würde. Dass die Aussagen sämtlich verschieden sind wäre unter anderm leicht durch ihre Zerfällung in die 5 Elementarfächer zu erkennen. Diese liest sich jedesmal leicht aus der Tafel S. 162 heraus, indem man den a als Faktor enthaltenden Term des Ausdrucks in der zweiten Kolumne derselben aufsucht, den andern Term in der ersten Kolumne; dann hat man nur noch des letztern erstes Glied rechterhand additiv zu vermehren um das in der Zeile jenes erstern Terms darüber oder darunter stehende. — „In Hinsicht der Negation“ bilden die 165 Ausdrücke keine Gruppe, indem ihre Negationen sich sämtlich nicht in der Tafel vertreten finden. Sie bilden also auch nicht eine „Gruppe“ schlechtweg, in dem Sinne, wie dieser Begriff eingangs des Anhangs 6 in Bd. 1 erklärt worden — das wäre: eine Gruppe „in Hinsicht aller drei Spezies des identischen Kalkuls“. Schliesslich werde die Frage beantwortet, wie viele von den gefundenen 166 rein universalen Aussagen „zerfallen“, oder was auf dasselbe hinaus- kommt, wie viele (und welche) von den weiter oben gefundenen 512 zer-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 166. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/190>, abgerufen am 23.04.2024.