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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.

Die ersten Glieder rechterhand sind die in das Fach a fallenden Alter-
nativen. Man erhält dieselben durch die vier primitiven Propositionen aus-
gedrückt, indem man der linken Seite der Gleichung den Faktor a beisetzt.
Wir haben diese Ausdrücke den andern (in einer neuen Kolonne) gegen-
übergestellt, und darunter noch die Proposition a geschrieben, weil es dann
gerade die 19 Aussagen des vorhergehenden Systemes sind, die auch selb-
ständig (und als unter a einzig mögliche) abgegeben werden konnten, und
deren additive Kombinationen mit denen der andern Kolonne nun allein noch
zu ermitteln sein werden.

Wären letztere von jenen unabhängig, so wäre die gesuchte Zahl der
Aussagen jetzt wieder ganz einfach gefunden in Gestalt von
19 x 19 -- 1 = 360.

Das sind sie aber (in ihren ersten Gliedern) augenscheinlich nicht, und
darum ist auch diese Zahl wieder nur als eine "obere Grenze" für die ge-
suchte zu betrachten, diesmal aber als eine der Wahrheit näher kommende
"schärfere" oder "bessere" Grenze.

Es scheint abermals nichts übrig zu bleiben, als dass man wirklich
die 19 Fälle rechts je mit den 19 Fällen links in der Kolonne additiv
durchkombinire und diejenigen Aussagen herausschreibe, welche auf eine
frühere nicht zurückkommen.

Sofern es auf eine Ermittelung der fraglichen Aussagen selbst mit-
ankommt, dürfte dies in der That das beste sein. Sofern es aber blos auf
die Ermittelung ihrer Anzahl ankäme, kann man noch fast zwei Drittel der
Arbeit sparen durch Rücksichtnahme auf die Symmetrie der Aufgabe.

Wenn nämlich z. B. a c mit den 19 Fällen der ersten Kolumne additiv
kombinirt nur 13 neue Aussagen liefert, so muss dasselbe auch mit a b und
mit a l der Fall sein, und diese müssen alle durch ihr erstes Glied oder
das System der darauf folgenden Glieder sich unterscheiden. Ebenso wegen
der Symmetrie hinsichtlich c, b, l braucht man nur zu konstatiren, dass
a c b an neuen Aussagen*) 5, darnach
a (c + b) 10, a (c b + l) 4, a l (c + b) 2, a (c + b + l) 8
und a (c b + c l + b l) 1 (eine) durch seine additive Kombination mit den
Aussagen der ersten Kolumne liefert. Die Nullaussage der einen Kolumne
gibt mit den Aussagen der andern verknüpft je 18 zulässige Aussagen;
ebenso aber auch die Aussage a der letzten Kolumne mit denjenigen der
erstern. Sonach ergibt sich die gesuchte Anzahl als:
3 x (18 + 13 + 5 + 10 + 4 + 2) + 8 + 1 = 165,
wobei, wie sich dies gehört, die absurde Aussage nicht eingerechnet worden,
indessen auch die nichtssagende oder leere Aussage nicht auftritt, mit
welcher letztern zusammen wir 166 Aussagen hätten.

So gross ist also die Anzahl der Urteile, welche eine Logik, die sich

*) Die also unter den Kombinationen aus den vorhergehenden Triaden gleich-
gebauter Ausdrücke nicht schon vertreten sein mussten.
11*
§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.

Die ersten Glieder rechterhand sind die in das Fach a fallenden Alter-
nativen. Man erhält dieselben durch die vier primitiven Propositionen aus-
gedrückt, indem man der linken Seite der Gleichung den Faktor a beisetzt.
Wir haben diese Ausdrücke den andern (in einer neuen Kolonne) gegen-
übergestellt, und darunter noch die Proposition a geschrieben, weil es dann
gerade die 19 Aussagen des vorhergehenden Systemes sind, die auch selb-
ständig (und als unter a einzig mögliche) abgegeben werden konnten, und
deren additive Kombinationen mit denen der andern Kolonne nun allein noch
zu ermitteln sein werden.

Wären letztere von jenen unabhängig, so wäre die gesuchte Zahl der
Aussagen jetzt wieder ganz einfach gefunden in Gestalt von
19 × 19 — 1 = 360.

Das sind sie aber (in ihren ersten Gliedern) augenscheinlich nicht, und
darum ist auch diese Zahl wieder nur als eine „obere Grenze“ für die ge-
suchte zu betrachten, diesmal aber als eine der Wahrheit näher kommende
„schärfere“ oder „bessere“ Grenze.

Es scheint abermals nichts übrig zu bleiben, als dass man wirklich
die 19 Fälle rechts je mit den 19 Fällen links in der Kolonne additiv
durchkombinire und diejenigen Aussagen herausschreibe, welche auf eine
frühere nicht zurückkommen.

Sofern es auf eine Ermittelung der fraglichen Aussagen selbst mit-
ankommt, dürfte dies in der That das beste sein. Sofern es aber blos auf
die Ermittelung ihrer Anzahl ankäme, kann man noch fast zwei Drittel der
Arbeit sparen durch Rücksichtnahme auf die Symmetrie der Aufgabe.

Wenn nämlich z. B. a c mit den 19 Fällen der ersten Kolumne additiv
kombinirt nur 13 neue Aussagen liefert, so muss dasselbe auch mit a b und
mit a l der Fall sein, und diese müssen alle durch ihr erstes Glied oder
das System der darauf folgenden Glieder sich unterscheiden. Ebenso wegen
der Symmetrie hinsichtlich c, b, l braucht man nur zu konstatiren, dass
a c b an neuen Aussagen*) 5, darnach
a (c + b) 10, a (c b + l) 4, a l (c + b) 2, a (c + b + l) 8
und a (c b + c l + b l) 1 (eine) durch seine additive Kombination mit den
Aussagen der ersten Kolumne liefert. Die Nullaussage der einen Kolumne
gibt mit den Aussagen der andern verknüpft je 18 zulässige Aussagen;
ebenso aber auch die Aussage a der letzten Kolumne mit denjenigen der
erstern. Sonach ergibt sich die gesuchte Anzahl als:
3 × (18 + 13 + 5 + 10 + 4 + 2) + 8 + 1 = 165,
wobei, wie sich dies gehört, die absurde Aussage nicht eingerechnet worden,
indessen auch die nichtssagende oder leere Aussage nicht auftritt, mit
welcher letztern zusammen wir 166 Aussagen hätten.

So gross ist also die Anzahl der Urteile, welche eine Logik, die sich

*) Die also unter den Kombinationen aus den vorhergehenden Triaden gleich-
gebauter Ausdrücke nicht schon vertreten sein mussten.
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[163/0187] § 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt. Die ersten Glieder rechterhand sind die in das Fach a fallenden Alter- nativen. Man erhält dieselben durch die vier primitiven Propositionen aus- gedrückt, indem man der linken Seite der Gleichung den Faktor a beisetzt. Wir haben diese Ausdrücke den andern (in einer neuen Kolonne) gegen- übergestellt, und darunter noch die Proposition a geschrieben, weil es dann gerade die 19 Aussagen des vorhergehenden Systemes sind, die auch selb- ständig (und als unter a einzig mögliche) abgegeben werden konnten, und deren additive Kombinationen mit denen der andern Kolonne nun allein noch zu ermitteln sein werden. Wären letztere von jenen unabhängig, so wäre die gesuchte Zahl der Aussagen jetzt wieder ganz einfach gefunden in Gestalt von 19 × 19 — 1 = 360. Das sind sie aber (in ihren ersten Gliedern) augenscheinlich nicht, und darum ist auch diese Zahl wieder nur als eine „obere Grenze“ für die ge- suchte zu betrachten, diesmal aber als eine der Wahrheit näher kommende „schärfere“ oder „bessere“ Grenze. Es scheint abermals nichts übrig zu bleiben, als dass man wirklich die 19 Fälle rechts je mit den 19 Fällen links in der Kolonne additiv durchkombinire und diejenigen Aussagen herausschreibe, welche auf eine frühere nicht zurückkommen. Sofern es auf eine Ermittelung der fraglichen Aussagen selbst mit- ankommt, dürfte dies in der That das beste sein. Sofern es aber blos auf die Ermittelung ihrer Anzahl ankäme, kann man noch fast zwei Drittel der Arbeit sparen durch Rücksichtnahme auf die Symmetrie der Aufgabe. Wenn nämlich z. B. a c mit den 19 Fällen der ersten Kolumne additiv kombinirt nur 13 neue Aussagen liefert, so muss dasselbe auch mit a b und mit a l der Fall sein, und diese müssen alle durch ihr erstes Glied oder das System der darauf folgenden Glieder sich unterscheiden. Ebenso wegen der Symmetrie hinsichtlich c, b, l braucht man nur zu konstatiren, dass a c b an neuen Aussagen *) 5, darnach a (c + b) 10, a (c b + l) 4, a l (c + b) 2, a (c + b + l) 8 und a (c b + c l + b l) 1 (eine) durch seine additive Kombination mit den Aussagen der ersten Kolumne liefert. Die Nullaussage der einen Kolumne gibt mit den Aussagen der andern verknüpft je 18 zulässige Aussagen; ebenso aber auch die Aussage a der letzten Kolumne mit denjenigen der erstern. Sonach ergibt sich die gesuchte Anzahl als: 3 × (18 + 13 + 5 + 10 + 4 + 2) + 8 + 1 = 165, wobei, wie sich dies gehört, die absurde Aussage nicht eingerechnet worden, indessen auch die nichtssagende oder leere Aussage nicht auftritt, mit welcher letztern zusammen wir 166 Aussagen hätten. So gross ist also die Anzahl der Urteile, welche eine Logik, die sich *) Die also unter den Kombinationen aus den vorhergehenden Triaden gleich- gebauter Ausdrücke nicht schon vertreten sein mussten. 11*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 163. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/187>, abgerufen am 23.04.2024.