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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.

Diese 9 Aussagen können jeweils selbständig, es können beliebige
Alternativen zwischen denselben statuirt werden. Dies gibt
29 = 512
mögliche verschiedene Aussagen. Von diesen verweist diejenige, bei
welcher alle 9 Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet auf-
treten, auf die "identische" Aussage 0 = 0 als den einzigen zulässigen
Fall unter den noch erdenklichen Aussagen, welche unsrer Definition
gemäss den "zerfallenden" zugezählt werden müssen. Mithin sind 512
zerfallende Aussagen über A und B zulässig.

Diese von den 32 767 in Abzug gebracht, lassen 32 255 Aussagen
übrig, in welche mindestens eine "nicht zerfallende", nämlich eine wirk-
liche Umfangsbeziehung zwischen A und B statuirende Aussage eingeht --
zum wenigsten als ein Glied oder Faktor eines Gliedes, d. i. als ein Alter-
nativfall oder als eine simultane Forderung oder Mitbedingung in einem
solchen. -- Die Zahl 512 nebst den beiden sogleich noch abzuleitenden 166
und 47 (jene ungenau als 511 und 168) hatte ich in 9 bekannt gegeben.

Noch eine andere wichtige Frage über die 32 767 Aussagen be-
trifft ihre Scheidung in universale und (mit-)partikulare. Diese soll
jetzt (im Kontext) zur Entscheidung gebracht werden.

Beschränken wir die Logik wiederum auf ihre "erste Etappe", wo sie
nur über Subsumtions- und Gleichheitszeichen, nicht aber über deren Ver-
neinung verfügt, sonach partikulare (oder affirmative Existenzial-) Urteile noch
nicht auszudrücken vermag, so ist 16 -- 1 = 15 die Anzahl der jetzt über
zwei Klassen A, B zulässigen "einfachen" oder monomischen Aussagen.

In der That können diesmal nur die vier primitiven Aussagen De Mor-
gan'
s als da sind (in den dortigen Bezeichnungen):
a, c, b, l
nicht aber deren Verneinungen abgegebeu werden. Hiermit dann lassen
sich herstellen die sechs binären:
a c, a b, a l, c b, c l, b l,
und die vier ternären Aussagen:
a c b, a c l, a b l, c b l,
zu welchen bisherigen 14 Aussagen sich als 15te noch die nichtssagende
0 = 0 gesellt die immer gilt, aussagenrechnerisch = i ist -- wogegen
die absurde Aussage durch die hier einzig denkbare quaternäre Aussage
a c b l dargestellt würde, welche jedoch nie gelten kann, unzulässig, aussagen-
rechnerisch = 0 ist.

Wir haben also bei der eingeführten Beschränkung der Logik anstatt
(und von) den früheren 75 "einfachen" oder "monomischen" Urteilen nur
mehr 14 abgebbare.

§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.

Diese 9 Aussagen können jeweils selbständig, es können beliebige
Alternativen zwischen denselben statuirt werden. Dies gibt
29 = 512
mögliche verschiedene Aussagen. Von diesen verweist diejenige, bei
welcher alle 9 Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet auf-
treten, auf die „identische“ Aussage 0 = 0 als den einzigen zulässigen
Fall unter den noch erdenklichen Aussagen, welche unsrer Definition
gemäss den „zerfallenden“ zugezählt werden müssen. Mithin sind 512
zerfallende Aussagen über A und B zulässig.

Diese von den 32 767 in Abzug gebracht, lassen 32 255 Aussagen
übrig, in welche mindestens eine „nicht zerfallende“, nämlich eine wirk-
liche Umfangsbeziehung zwischen A und B statuirende Aussage eingeht —
zum wenigsten als ein Glied oder Faktor eines Gliedes, d. i. als ein Alter-
nativfall oder als eine simultane Forderung oder Mitbedingung in einem
solchen. — Die Zahl 512 nebst den beiden sogleich noch abzuleitenden 166
und 47 (jene ungenau als 511 und 168) hatte ich in 9 bekannt gegeben.

Noch eine andere wichtige Frage über die 32 767 Aussagen be-
trifft ihre Scheidung in universale und (mit-)partikulare. Diese soll
jetzt (im Kontext) zur Entscheidung gebracht werden.

Beschränken wir die Logik wiederum auf ihre „erste Etappe“, wo sie
nur über Subsumtions- und Gleichheitszeichen, nicht aber über deren Ver-
neinung verfügt, sonach partikulare (oder affirmative Existenzial-) Urteile noch
nicht auszudrücken vermag, so ist 16 — 1 = 15 die Anzahl der jetzt über
zwei Klassen A, B zulässigen „einfachen“ oder monomischen Aussagen.

In der That können diesmal nur die vier primitiven Aussagen De Mor-
gan’
s als da sind (in den dortigen Bezeichnungen):
a, c, b, l
nicht aber deren Verneinungen abgegebeu werden. Hiermit dann lassen
sich herstellen die sechs binären:
a c, a b, a l, c b, c l, b l,
und die vier ternären Aussagen:
a c b, a c l, a b l, c b l,
zu welchen bisherigen 14 Aussagen sich als 15te noch die nichtssagende
0 = 0 gesellt die immer gilt, aussagenrechnerisch = i ist — wogegen
die absurde Aussage durch die hier einzig denkbare quaternäre Aussage
a c b l dargestellt würde, welche jedoch nie gelten kann, unzulässig, aussagen-
rechnerisch = 0 ist.

Wir haben also bei der eingeführten Beschränkung der Logik anstatt
(und von) den früheren 75 „einfachen“ oder „monomischen“ Urteilen nur
mehr 14 abgebbare.

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[159/0183] § 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt. Diese 9 Aussagen können jeweils selbständig, es können beliebige Alternativen zwischen denselben statuirt werden. Dies gibt 29 = 512 mögliche verschiedene Aussagen. Von diesen verweist diejenige, bei welcher alle 9 Konstituenten mit dem Koeffizienten 0 behaftet auf- treten, auf die „identische“ Aussage 0 = 0 als den einzigen zulässigen Fall unter den noch erdenklichen Aussagen, welche unsrer Definition gemäss den „zerfallenden“ zugezählt werden müssen. Mithin sind 512 zerfallende Aussagen über A und B zulässig. Diese von den 32 767 in Abzug gebracht, lassen 32 255 Aussagen übrig, in welche mindestens eine „nicht zerfallende“, nämlich eine wirk- liche Umfangsbeziehung zwischen A und B statuirende Aussage eingeht — zum wenigsten als ein Glied oder Faktor eines Gliedes, d. i. als ein Alter- nativfall oder als eine simultane Forderung oder Mitbedingung in einem solchen. — Die Zahl 512 nebst den beiden sogleich noch abzuleitenden 166 und 47 (jene ungenau als 511 und 168) hatte ich in 9 bekannt gegeben. Noch eine andere wichtige Frage über die 32 767 Aussagen be- trifft ihre Scheidung in universale und (mit-)partikulare. Diese soll jetzt (im Kontext) zur Entscheidung gebracht werden. Beschränken wir die Logik wiederum auf ihre „erste Etappe“, wo sie nur über Subsumtions- und Gleichheitszeichen, nicht aber über deren Ver- neinung verfügt, sonach partikulare (oder affirmative Existenzial-) Urteile noch nicht auszudrücken vermag, so ist 16 — 1 = 15 die Anzahl der jetzt über zwei Klassen A, B zulässigen „einfachen“ oder monomischen Aussagen. In der That können diesmal nur die vier primitiven Aussagen De Mor- gan’s als da sind (in den dortigen Bezeichnungen): a, c, b, l nicht aber deren Verneinungen abgegebeu werden. Hiermit dann lassen sich herstellen die sechs binären: a c, a b, a l, c b, c l, b l, und die vier ternären Aussagen: a c b, a c l, a b l, c b l, zu welchen bisherigen 14 Aussagen sich als 15te noch die nichtssagende 0 = 0 gesellt die immer gilt, aussagenrechnerisch = i ist — wogegen die absurde Aussage durch die hier einzig denkbare quaternäre Aussage a c b l dargestellt würde, welche jedoch nie gelten kann, unzulässig, aussagen- rechnerisch = 0 ist. Wir haben also bei der eingeführten Beschränkung der Logik anstatt (und von) den früheren 75 „einfachen“ oder „monomischen“ Urteilen nur mehr 14 abgebbare.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 159. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/183>, abgerufen am 16.04.2024.