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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.
Erleichterungen (wie XXIV0 für die Unterfälle von a) gewähren soll für
die Klassifikation aller möglichen Unterfälle von a1 und seinen vier Elementar-
fällen a, b, g, d. Obwol die Angaben dieser Tafel äusserst leicht aus dem
Anblick der Tafeln III0 und XIII0 zu entnehmen sind und sich auch unter
den Hülfsrelationen XV0 bereits mit angeführt finden, wird ihre Zusammen-
stellung doch der Bequemlichkeit des Studirenden dienen.

Als von hohem Interesse kann man noch die Frage aufwerfen:
wie viele (und welche) von den 32 767 Aussagen über A und B "zer-
fallen"?

Eine Aussage über ein gegebenes System von Begriffen (Klassen,
Gebieten) wird eine "zerfallende" zu nennen sein, wenn es möglich ist,
sie aussagenrechnerisch aus lauter solchen Aussagen aufzubauen, in
deren jeder nur je von einem derselben die Rede ist -- ohne jegliche
Erwähnung der übrigen Begriffe des Systemes.

Es würde umständlich sein, alle obigen Aussagen auf diese Möglich-
keit hin zu untersuchen, nämlich bei einer jeden zu entscheiden, ob sie
zusammensetzbar ist aus lauter nur A, sowie nur B betreffenden Teilaus-
sagen, oder nicht.

Dagegen ergibt sich leicht die Beantwortung der gestellten Frage,
wenn man die über A allein, somit auch die über B allein, abgebbaren
Aussagen systematisch aufsucht, sodann deren mögliche (multiplikative und
additive) Kombinationen.

Eine zerfallende Aussage über A und B muss sich ausschliesslich
aus den vieren:
h, k, m, n
als eine "Funktion" des Aussagenkalkuls f (h, k, m, n) zusammensetzen.
Diese nach ihren 4 Argumenten entwickelt gedacht, setzt sich ihrer-
seits aus 24 = 16 Konstituenten zusammen, deren jeder entweder 0 oder
1 zum Koeffizienten haben muss. Diese Konstituenten sind:
h k m n, h k m n1, h k m1 n, h k m1 n1, h k1 m n, h k1 m n1, h k1 m1 n, h k1 m1 n1,
h1 k m n, h1 k m n1, h1 k m1 n, h1 k m1 n1, h1 k1 m n, h1 k1 m n1, h1 k1 m1 n, h1 k1 m1 n1.

Weil h m = 0 und k n = 0 gilt, verschwinden aber einzelne von
diesen Konstituenten selbst und zwar die 7 vorstehend unterstrichenen.
Und wegen
h m1 = h, h1 m = m, k n1 = k, k1 n = n
lassen die neun stehen gebliebenen bezüglich folgende Vereinfachung
ihres Ausdruckes zu:
h k, h n, h k1 n1, k m, h1 k m1, m n, k1 m n1, h1 m1 n, h1 k1 m1 n1.

Achtzehnte Vorlesung.
Erleichterungen (wie XXIV0 für die Unterfälle von a) gewähren soll für
die Klassifikation aller möglichen Unterfälle von a1 und seinen vier Elementar-
fällen α, β, γ, δ. Obwol die Angaben dieser Tafel äusserst leicht aus dem
Anblick der Tafeln III0 und XIII0 zu entnehmen sind und sich auch unter
den Hülfsrelationen XV0 bereits mit angeführt finden, wird ihre Zusammen-
stellung doch der Bequemlichkeit des Studirenden dienen.

Als von hohem Interesse kann man noch die Frage aufwerfen:
wie viele (und welche) von den 32 767 Aussagen über A und B „zer-
fallen“?

Eine Aussage über ein gegebenes System von Begriffen (Klassen,
Gebieten) wird eine „zerfallende“ zu nennen sein, wenn es möglich ist,
sie aussagenrechnerisch aus lauter solchen Aussagen aufzubauen, in
deren jeder nur je von einem derselben die Rede ist — ohne jegliche
Erwähnung der übrigen Begriffe des Systemes.

Es würde umständlich sein, alle obigen Aussagen auf diese Möglich-
keit hin zu untersuchen, nämlich bei einer jeden zu entscheiden, ob sie
zusammensetzbar ist aus lauter nur A, sowie nur B betreffenden Teilaus-
sagen, oder nicht.

Dagegen ergibt sich leicht die Beantwortung der gestellten Frage,
wenn man die über A allein, somit auch die über B allein, abgebbaren
Aussagen systematisch aufsucht, sodann deren mögliche (multiplikative und
additive) Kombinationen.

Eine zerfallende Aussage über A und B muss sich ausschliesslich
aus den vieren:
h, k, m, n
als eine „Funktion“ des Aussagenkalkuls f (h, k, m, n) zusammensetzen.
Diese nach ihren 4 Argumenten entwickelt gedacht, setzt sich ihrer-
seits aus 24 = 16 Konstituenten zusammen, deren jeder entweder 0 oder
1 zum Koeffizienten haben muss. Diese Konstituenten sind:
h k m n, h k m n1, h k m1 n, h k m1 n1, h k1 m n, h k1 m n1, h k1 m1 n, h k1 m1 n1,
h1 k m n, h1 k m n1, h1 k m1 n, h1 k m1 n1, h1 k1 m n, h1 k1 m n1, h1 k1 m1 n, h1 k1 m1 n1.

Weil h m = 0 und k n = 0 gilt, verschwinden aber einzelne von
diesen Konstituenten selbst und zwar die 7 vorstehend unterstrichenen.
Und wegen
h m1 = h, h1 m = m, k n1 = k, k1 n = n
lassen die neun stehen gebliebenen bezüglich folgende Vereinfachung
ihres Ausdruckes zu:
h k, h n, h k1 n1, k m, h1 k m1, m n, k1 m n1, h1 m1 n, h1 k1 m1 n1.

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[158/0182] Achtzehnte Vorlesung. Erleichterungen (wie XXIV0 für die Unterfälle von a) gewähren soll für die Klassifikation aller möglichen Unterfälle von a1 und seinen vier Elementar- fällen α, β, γ, δ. Obwol die Angaben dieser Tafel äusserst leicht aus dem Anblick der Tafeln III0 und XIII0 zu entnehmen sind und sich auch unter den Hülfsrelationen XV0 bereits mit angeführt finden, wird ihre Zusammen- stellung doch der Bequemlichkeit des Studirenden dienen. Als von hohem Interesse kann man noch die Frage aufwerfen: wie viele (und welche) von den 32 767 Aussagen über A und B „zer- fallen“? Eine Aussage über ein gegebenes System von Begriffen (Klassen, Gebieten) wird eine „zerfallende“ zu nennen sein, wenn es möglich ist, sie aussagenrechnerisch aus lauter solchen Aussagen aufzubauen, in deren jeder nur je von einem derselben die Rede ist — ohne jegliche Erwähnung der übrigen Begriffe des Systemes. Es würde umständlich sein, alle obigen Aussagen auf diese Möglich- keit hin zu untersuchen, nämlich bei einer jeden zu entscheiden, ob sie zusammensetzbar ist aus lauter nur A, sowie nur B betreffenden Teilaus- sagen, oder nicht. Dagegen ergibt sich leicht die Beantwortung der gestellten Frage, wenn man die über A allein, somit auch die über B allein, abgebbaren Aussagen systematisch aufsucht, sodann deren mögliche (multiplikative und additive) Kombinationen. Eine zerfallende Aussage über A und B muss sich ausschliesslich aus den vieren: h, k, m, n als eine „Funktion“ des Aussagenkalkuls f (h, k, m, n) zusammensetzen. Diese nach ihren 4 Argumenten entwickelt gedacht, setzt sich ihrer- seits aus 24 = 16 Konstituenten zusammen, deren jeder entweder 0 oder 1 zum Koeffizienten haben muss. Diese Konstituenten sind: h k m n, h k m n1, h k m1 n, h k m1 n1, h k1 m n, h k1 m n1, h k1 m1 n, h k1 m1 n1, h1 k m n, h1 k m n1, h1 k m1 n, h1 k m1 n1, h1 k1 m n, h1 k1 m n1, h1 k1 m1 n, h1 k1 m1 n1. Weil h m = 0 und k n = 0 gilt, verschwinden aber einzelne von diesen Konstituenten selbst und zwar die 7 vorstehend unterstrichenen. Und wegen h m1 = h, h1 m = m, k n1 = k, k1 n = n lassen die neun stehen gebliebenen bezüglich folgende Vereinfachung ihres Ausdruckes zu: h k, h n, h k1 n1, k m, h1 k m1, m n, k1 m n1, h1 m1 n, h1 k1 m1 n1.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 158. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/182>, abgerufen am 04.05.2024.