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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
wären nach jenen vier in ihrer Gesamtheit vorkommenden Symbolen. Wegen
ihrer, sechzehn Millionen übersteigenden Anzahl (16 777 216) würde das
aber eine übergrosse Geduldsprobe werden.

Besser verfahren wir in der folgenden Weise, einen Gedankengang
verwirklichend, auf welchen bei einem analogen Problem schon Jevons9
verfallen ist (vergl. Bd. 1, Anhang 6), dessen noch verfehlte Anwendung
aber von Miss Ladd1 zuerst richtig gestellt worden.

Behufs Ermittelung der Zahl x "entwickeln" wir den Elementar-
fall a (selbst) nach den vier Symbolen a, h, k, l, aus deren Kombi-
nationen -- wenn man will ausschliesslich -- die Unterfälle des a sich
zusammensetzen. Zu dem Ende braucht man nur a zu multipliziren
mit der Entwickelung der 1 nach den drei letztern Symbolen. Wegen
h k l = 0 fällt aber von den acht Gliedern (Konstituenten) dieser Ent-
wickelung das erste fort, und bleibt:
a = a (h k l1 + h k1 l + h k1 l1 + h1 k l + h1 k l1 + h1 k1 l + h1 k1 l1),
was mit Rücksicht auf die angeführte Relation noch weiter sich ver-
einfachen lässt zu:
a = a (h k + h l + h k1 l1 + k l + h1 k l1 + h1 k1 l + h1 k1 l1)
und mit Rücksicht auf die mehrerwähnten Hülfsrelationen auch ge-
schrieben werden könnte in einer der beiden Formen:
a = h k + h l + h k1 l1 + k l + h1 k l1 + h1 k1 l a + h1 k1 l1 a,
a = h k + h n + h k1 n1 + k m + h1 k m1 + h1 k1 l a + h1 k1 l1 a.
Bei diesen Summen sind wir nun sicher, dass sie "reduzirte", dass
ihre Glieder unter sich "disjunkt" sind.

Die sieben Glieder sind auch die Konstituenten der Entwickelung
jedes erdenklichen Unterfalles von a nach ebendiesen Symbolen h, k, l.

Die Logik des Umfanges mit ihren mannigfachen Beziehungs-
zeichen vermochte aber, wie wir gesehen haben, nur solche Unter-
fälle von a zu konstruiren, auszusprechen, zu beschreiben, in deren
Ausdruck lediglich die Symbole a, h, k, l auftreten. (Die Verwendung
der m und n liess sich ja im Elementarfall a umgehen, war daselbst
eine blos fakultative.) Also: jeder angebbare Unterfall von a ist eine
Funktion lediglich von a, h, k und l, in deren Ausdruck ausser diesen
vier Buchstaben -- die drei letztern negirt oder unnegirt genommen
-- keine weiteren Buchstabensymbole vorkommen.

Entwickelt nach allen vier Argumenten wird er a in jedem Gliede
zum ausdrücklichen oder stillschweigenden Faktor haben -- letzteres inso-
fern bei h und k der Faktor als ein selbstverständlicher unterdrückt
werden durfte -- und zwar weil nach Th. 20x) a äquivalent ist: x = x a

10*

§ 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt.
wären nach jenen vier in ihrer Gesamtheit vorkommenden Symbolen. Wegen
ihrer, sechzehn Millionen übersteigenden Anzahl (16 777 216) würde das
aber eine übergrosse Geduldsprobe werden.

Besser verfahren wir in der folgenden Weise, einen Gedankengang
verwirklichend, auf welchen bei einem analogen Problem schon Jevons9
verfallen ist (vergl. Bd. 1, Anhang 6), dessen noch verfehlte Anwendung
aber von Miss Ladd1 zuerst richtig gestellt worden.

Behufs Ermittelung der Zahl x „entwickeln“ wir den Elementar-
fall a (selbst) nach den vier Symbolen a, h, k, l, aus deren Kombi-
nationen — wenn man will ausschliesslich — die Unterfälle des a sich
zusammensetzen. Zu dem Ende braucht man nur a zu multipliziren
mit der Entwickelung der 1 nach den drei letztern Symbolen. Wegen
h k l = 0 fällt aber von den acht Gliedern (Konstituenten) dieser Ent-
wickelung das erste fort, und bleibt:
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und mit Rücksicht auf die mehrerwähnten Hülfsrelationen auch ge-
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a = h k + h l + h k1 l1 + k l + h1 k l1 + h1 k1 l a + h1 k1 l1 a,
a = h k + h n + h k1 n1 + k m + h1 k m1 + h1 k1 l a + h1 k1 l1 a.
Bei diesen Summen sind wir nun sicher, dass sie „reduzirte“, dass
ihre Glieder unter sich „disjunkt“ sind.

Die sieben Glieder sind auch die Konstituenten der Entwickelung
jedes erdenklichen Unterfalles von a nach ebendiesen Symbolen h, k, l.

Die Logik des Umfanges mit ihren mannigfachen Beziehungs-
zeichen vermochte aber, wie wir gesehen haben, nur solche Unter-
fälle von a zu konstruiren, auszusprechen, zu beschreiben, in deren
Ausdruck lediglich die Symbole a, h, k, l auftreten. (Die Verwendung
der m und n liess sich ja im Elementarfall a umgehen, war daselbst
eine blos fakultative.) Also: jeder angebbare Unterfall von a ist eine
Funktion lediglich von a, h, k und l, in deren Ausdruck ausser diesen
vier Buchstaben — die drei letztern negirt oder unnegirt genommen
— keine weiteren Buchstabensymbole vorkommen.

Entwickelt nach allen vier Argumenten wird er a in jedem Gliede
zum ausdrücklichen oder stillschweigenden Faktor haben — letzteres inso-
fern bei h und k der Faktor als ein selbstverständlicher unterdrückt
werden durfte — und zwar weil nach Th. 20×) ⊆ a äquivalent ist: x = x a

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[147/0171] § 39. Die denkbaren Umfangsbeziehungen überhaupt. wären nach jenen vier in ihrer Gesamtheit vorkommenden Symbolen. Wegen ihrer, sechzehn Millionen übersteigenden Anzahl (16 777 216) würde das aber eine übergrosse Geduldsprobe werden. Besser verfahren wir in der folgenden Weise, einen Gedankengang verwirklichend, auf welchen bei einem analogen Problem schon Jevons9 verfallen ist (vergl. Bd. 1, Anhang 6), dessen noch verfehlte Anwendung aber von Miss Ladd1 zuerst richtig gestellt worden. Behufs Ermittelung der Zahl x „entwickeln“ wir den Elementar- fall a (selbst) nach den vier Symbolen a, h, k, l, aus deren Kombi- nationen — wenn man will ausschliesslich — die Unterfälle des a sich zusammensetzen. Zu dem Ende braucht man nur a zu multipliziren mit der Entwickelung der 1 nach den drei letztern Symbolen. Wegen h k l = 0 fällt aber von den acht Gliedern (Konstituenten) dieser Ent- wickelung das erste fort, und bleibt: a = a (h k l1 + h k1 l + h k1 l1 + h1 k l + h1 k l1 + h1 k1 l + h1 k1 l1), was mit Rücksicht auf die angeführte Relation noch weiter sich ver- einfachen lässt zu: a = a (h k + h l + h k1 l1 + k l + h1 k l1 + h1 k1 l + h1 k1 l1) und mit Rücksicht auf die mehrerwähnten Hülfsrelationen auch ge- schrieben werden könnte in einer der beiden Formen: a = h k + h l + h k1 l1 + k l + h1 k l1 + h1 k1 l a + h1 k1 l1 a, a = h k + h n + h k1 n1 + k m + h1 k m1 + h1 k1 l a + h1 k1 l1 a. Bei diesen Summen sind wir nun sicher, dass sie „reduzirte“, dass ihre Glieder unter sich „disjunkt“ sind. Die sieben Glieder sind auch die Konstituenten der Entwickelung jedes erdenklichen Unterfalles von a nach ebendiesen Symbolen h, k, l. Die Logik des Umfanges mit ihren mannigfachen Beziehungs- zeichen vermochte aber, wie wir gesehen haben, nur solche Unter- fälle von a zu konstruiren, auszusprechen, zu beschreiben, in deren Ausdruck lediglich die Symbole a, h, k, l auftreten. (Die Verwendung der m und n liess sich ja im Elementarfall a umgehen, war daselbst eine blos fakultative.) Also: jeder angebbare Unterfall von a ist eine Funktion lediglich von a, h, k und l, in deren Ausdruck ausser diesen vier Buchstaben — die drei letztern negirt oder unnegirt genommen — keine weiteren Buchstabensymbole vorkommen. Entwickelt nach allen vier Argumenten wird er a in jedem Gliede zum ausdrücklichen oder stillschweigenden Faktor haben — letzteres inso- fern bei h und k der Faktor als ein selbstverständlicher unterdrückt werden durfte — und zwar weil nach Th. 20×)  a äquivalent ist: x = x a 10*

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 147. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/171>, abgerufen am 04.05.2024.