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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.
dieser Kolonne bereits einregistrirt wären, d. h. in Bezug auf die
Operation der Multiplikation bilden die Aussagen einer jeden von den
gedachten 5 Kolonnen mathematisch gesprochen eine "Gruppe".*)

Bei einer jeden von den vier letzten Kolonnen thun sie dies auch
in Bezug auf die Operation der Addition: auch additiv lassen sich die
4 Aussagen einer jeden der vier Kolonnen von a1 nicht weiter zu
neuen Aussagen kombiniren; denn während das Addiren von 0 ohne-
hin nichts ändert, ist z. B. auch
a + l a = a, a + l1 a = a, l a + l1 a = a; etc.

Als additive Kombinationen der unter a unterscheidbaren mög-
lichen Aussagen in je den vier Elementarfällen erhalten wir demnach
4 x 4 x 4 x 4 = 44 = 28 = 256
welche unter sich verschieden und zulässig sein werden.

Nennen wir x die (noch unbekannte) Anzahl der Arten, auf
welche auch die 24 Aussagen der ersten Kolonne additiv miteinander
eigentümlich kombinirt werden können, so wird
x x 256 -- 1
die gesuchte Anzahl der Urteile sein, welche die Logik des Umfanges
über zwei bestimmte Begriffe A und B abzugeben vermag.

[Um 1 ist wieder das arithmetische Produkt x x 256 zu ver-
mindern, weil diejenige Aussage unzulässig bleibt, bei welcher jede
von den 5 Elementaraussagen mit dem Faktor 0 versehen erschiene.
Dagegen ist die Aussage "Eins" in obiger Auzahl mit eingerechnet,
obwol sie "nichtssagend" ist, nämlich in Gestalt von
1, = a1 + a + b + g + d,
eine jede Möglichkeit offenlässt.]

Es würde x = 226 sein müssen, wären die additiven Kombinationen
der 26 unter a registrirten Fälle alle unter sich verschieden. Das sind
sie aber nicht, vielmehr kommen sie teilweise auf diese Fälle selbst oder
auf andere von ebendiesen Kombinationen zurück. Darum wird auch die
Zahl x erheblich kleiner sein. Um sie zu ermitteln, könnte man ver-
suchen, diese additiven Kombinationen etwa für die 24 in h, k, l, a1
monomischen von den 26 Aussagen selbst aufzustellen als Amben, Ternen
und so weiter bis zur "24-erne" (vigintiquaterne) um eine jede derselben
auf ihre Verschiedenheit von den ihr vorhergegangenen zu untersuchen --
zu welchem Ende die kombinatorischen Summen etwa je zu "entwickeln"

*) Man überzeugt sich davon unschwer, auch bei der (nur bis zum Strich
genommen) ersten Kolonne, unter Berücksichtigung der Hülfsrelationen XV0, doch
wird dieser Nachweis durch spätere Betrachtungen überflüssig gemacht.

Achtzehnte Vorlesung.
dieser Kolonne bereits einregistrirt wären, d. h. in Bezug auf die
Operation der Multiplikation bilden die Aussagen einer jeden von den
gedachten 5 Kolonnen mathematisch gesprochen eine „Gruppe“.*)

Bei einer jeden von den vier letzten Kolonnen thun sie dies auch
in Bezug auf die Operation der Addition: auch additiv lassen sich die
4 Aussagen einer jeden der vier Kolonnen von a1 nicht weiter zu
neuen Aussagen kombiniren; denn während das Addiren von 0 ohne-
hin nichts ändert, ist z. B. auch
α + l α = α, α + l1 α = α, l α + l1 α = α; etc.

Als additive Kombinationen der unter a unterscheidbaren mög-
lichen Aussagen in je den vier Elementarfällen erhalten wir demnach
4 × 4 × 4 × 4 = 44 = 28 = 256
welche unter sich verschieden und zulässig sein werden.

Nennen wir x die (noch unbekannte) Anzahl der Arten, auf
welche auch die 24 Aussagen der ersten Kolonne additiv miteinander
eigentümlich kombinirt werden können, so wird
x × 256 — 1
die gesuchte Anzahl der Urteile sein, welche die Logik des Umfanges
über zwei bestimmte Begriffe A und B abzugeben vermag.

[Um 1 ist wieder das arithmetische Produkt x × 256 zu ver-
mindern, weil diejenige Aussage unzulässig bleibt, bei welcher jede
von den 5 Elementaraussagen mit dem Faktor 0 versehen erschiene.
Dagegen ist die Aussage „Eins“ in obiger Auzahl mit eingerechnet,
obwol sie „nichtssagend“ ist, nämlich in Gestalt von
1, = a1 + α + β + γ + δ,
eine jede Möglichkeit offenlässt.]

Es würde x = 226 sein müssen, wären die additiven Kombinationen
der 26 unter a registrirten Fälle alle unter sich verschieden. Das sind
sie aber nicht, vielmehr kommen sie teilweise auf diese Fälle selbst oder
auf andere von ebendiesen Kombinationen zurück. Darum wird auch die
Zahl x erheblich kleiner sein. Um sie zu ermitteln, könnte man ver-
suchen, diese additiven Kombinationen etwa für die 24 in h, k, l, a1
monomischen von den 26 Aussagen selbst aufzustellen als Amben, Ternen
und so weiter bis zur „24-erne“ (vigintiquaterne) um eine jede derselben
auf ihre Verschiedenheit von den ihr vorhergegangenen zu untersuchen —
zu welchem Ende die kombinatorischen Summen etwa je zu „entwickeln“

*) Man überzeugt sich davon unschwer, auch bei der (nur bis zum Strich
genommen) ersten Kolonne, unter Berücksichtigung der Hülfsrelationen XV0, doch
wird dieser Nachweis durch spätere Betrachtungen überflüssig gemacht.
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[146/0170] Achtzehnte Vorlesung. dieser Kolonne bereits einregistrirt wären, d. h. in Bezug auf die Operation der Multiplikation bilden die Aussagen einer jeden von den gedachten 5 Kolonnen mathematisch gesprochen eine „Gruppe“. *) Bei einer jeden von den vier letzten Kolonnen thun sie dies auch in Bezug auf die Operation der Addition: auch additiv lassen sich die 4 Aussagen einer jeden der vier Kolonnen von a1 nicht weiter zu neuen Aussagen kombiniren; denn während das Addiren von 0 ohne- hin nichts ändert, ist z. B. auch α + l α = α, α + l1 α = α, l α + l1 α = α; etc. Als additive Kombinationen der unter a unterscheidbaren mög- lichen Aussagen in je den vier Elementarfällen erhalten wir demnach 4 × 4 × 4 × 4 = 44 = 28 = 256 welche unter sich verschieden und zulässig sein werden. Nennen wir x die (noch unbekannte) Anzahl der Arten, auf welche auch die 24 Aussagen der ersten Kolonne additiv miteinander eigentümlich kombinirt werden können, so wird x × 256 — 1 die gesuchte Anzahl der Urteile sein, welche die Logik des Umfanges über zwei bestimmte Begriffe A und B abzugeben vermag. [Um 1 ist wieder das arithmetische Produkt x × 256 zu ver- mindern, weil diejenige Aussage unzulässig bleibt, bei welcher jede von den 5 Elementaraussagen mit dem Faktor 0 versehen erschiene. Dagegen ist die Aussage „Eins“ in obiger Auzahl mit eingerechnet, obwol sie „nichtssagend“ ist, nämlich in Gestalt von 1, = a1 + α + β + γ + δ, eine jede Möglichkeit offenlässt.] Es würde x = 226 sein müssen, wären die additiven Kombinationen der 26 unter a registrirten Fälle alle unter sich verschieden. Das sind sie aber nicht, vielmehr kommen sie teilweise auf diese Fälle selbst oder auf andere von ebendiesen Kombinationen zurück. Darum wird auch die Zahl x erheblich kleiner sein. Um sie zu ermitteln, könnte man ver- suchen, diese additiven Kombinationen etwa für die 24 in h, k, l, a1 monomischen von den 26 Aussagen selbst aufzustellen als Amben, Ternen und so weiter bis zur „24-erne“ (vigintiquaterne) um eine jede derselben auf ihre Verschiedenheit von den ihr vorhergegangenen zu untersuchen — zu welchem Ende die kombinatorischen Summen etwa je zu „entwickeln“ *) Man überzeugt sich davon unschwer, auch bei der (nur bis zum Strich genommen) ersten Kolonne, unter Berücksichtigung der Hülfsrelationen XV0, doch wird dieser Nachweis durch spätere Betrachtungen überflüssig gemacht.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 146. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/170>, abgerufen am 15.04.2024.