Denken wir uns solchen Unterfall entwickelt, so kann mit irgend einem der 7 Konstituenten als der zugehörige Koeffizient (in Ermangelung eben noch andrer Buchstaben) nur entweder 0 oder 1 verknüpft sein, d. h. der betreffende Konstituent ist in der Entwickelung entweder ganz oder gar nicht als Glied vorhanden.
Hieraus erhellt, dass jeder Unterfall von a auf eine Alternative zwischen jenen 7 Konstituenten hinauslaufen, als Summe irgend einer Gruppe von aus den sieben herausgegriffenen Gliedern darstellbar sein muss.
Die Anzahl x der erdenklichen Unterfälle von a fällt darum zu- sammen mit der Anzahl der möglichen additiven Kombinationen unsrer sieben Konstituenten.
Diese Kombinationen lassen sich aber leicht vollständig auf- stellen und noch leichter lässt ihre Anzahl sich a priori ermitteln.
Da in Bezug auf jeden einzelnen der 7 Konstituenten (ganz un- abhängig von den übrigen) die zwei Möglichkeiten vorliegen, dass er als Alternativfall zugelassen, nämlich als Glied in der Entwickelung vertreten, oder aber ausgeschlossen, nicht als Glied vorhanden ist, so haben wir: x = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 = 128.
Von dieser Anzahl der möglichen Unterfälle von a ist keine Einheit in Abzug zu bringen, weil der Fall 0 · a wirklich vorkommen kann, der Elementarfall a überhaupt nicht vorzuliegen braucht, sofern nämlich nur von den übrigen Elementarfällen a, b, g, d dann allermindestens einer vorliegt.
Hiermit ist nun auch endlich 128 x 256 -- 1 = 27 x 28 -- 1, oder 215 -- 1 = 32767 sage: dreissigzweitausend siebenhundert sechzigsieben gefunden als die Anzahl der inhaltlich verschiedenen Aussagen, Urteile, welche die Logik des Umfanges über zwei bestimmte Gebiete, Klassen, Begriffe A, B ab- zugeben, zu fällen vermag.
Es versteht sich übrigens, dass die hier eingeflochtenen auf Zahlen bezüglichen Betrachtungen (zu denen immer schon die Kenntniss des Ein- maleinses ausreicht) lediglich als ein Beiwerk unsrer Theorie anzusehen sind, welche grundsätzlich die Zahlen ganz der Arithmetik überlässt und wesentliche Schlüsse wol nirgends auf numerische Betrachtungen gründet.
Es verlohnt wol, die 128 sub a unterscheidbaren Fälle einmal wirklich zusammenzustellen, zugleich damit für einen jeden derselben auch die Angabe seines einfachsten Formelausdrucks zu verbinden.
Achtzehnte Vorlesung.
Denken wir uns solchen Unterfall entwickelt, so kann mit irgend einem der 7 Konstituenten als der zugehörige Koeffizient (in Ermangelung eben noch andrer Buchstaben) nur entweder 0 oder 1 verknüpft sein, d. h. der betreffende Konstituent ist in der Entwickelung entweder ganz oder gar nicht als Glied vorhanden.
Hieraus erhellt, dass jeder Unterfall von a auf eine Alternative zwischen jenen 7 Konstituenten hinauslaufen, als Summe irgend einer Gruppe von aus den sieben herausgegriffenen Gliedern darstellbar sein muss.
Die Anzahl x der erdenklichen Unterfälle von a fällt darum zu- sammen mit der Anzahl der möglichen additiven Kombinationen unsrer sieben Konstituenten.
Diese Kombinationen lassen sich aber leicht vollständig auf- stellen und noch leichter lässt ihre Anzahl sich a priori ermitteln.
Da in Bezug auf jeden einzelnen der 7 Konstituenten (ganz un- abhängig von den übrigen) die zwei Möglichkeiten vorliegen, dass er als Alternativfall zugelassen, nämlich als Glied in der Entwickelung vertreten, oder aber ausgeschlossen, nicht als Glied vorhanden ist, so haben wir: x = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27 = 128.
Von dieser Anzahl der möglichen Unterfälle von a ist keine Einheit in Abzug zu bringen, weil der Fall 0 · a wirklich vorkommen kann, der Elementarfall a überhaupt nicht vorzuliegen braucht, sofern nämlich nur von den übrigen Elementarfällen α, β, γ, δ dann allermindestens einer vorliegt.
Hiermit ist nun auch endlich 128 × 256 — 1 = 27 × 28 — 1, oder 215 — 1 = 32767 sage: dreissigzweitausend siebenhundert sechzigsieben gefunden als die Anzahl der inhaltlich verschiedenen Aussagen, Urteile, welche die Logik des Umfanges über zwei bestimmte Gebiete, Klassen, Begriffe A, B ab- zugeben, zu fällen vermag.
Es versteht sich übrigens, dass die hier eingeflochtenen auf Zahlen bezüglichen Betrachtungen (zu denen immer schon die Kenntniss des Ein- maleinses ausreicht) lediglich als ein Beiwerk unsrer Theorie anzusehen sind, welche grundsätzlich die Zahlen ganz der Arithmetik überlässt und wesentliche Schlüsse wol nirgends auf numerische Betrachtungen gründet.
Es verlohnt wol, die 128 sub a unterscheidbaren Fälle einmal wirklich zusammenzustellen, zugleich damit für einen jeden derselben auch die Angabe seines einfachsten Formelausdrucks zu verbinden.
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Achtzehnte Vorlesung.
Denken wir uns solchen Unterfall entwickelt, so kann mit irgend
einem der 7 Konstituenten als der zugehörige Koeffizient (in Ermangelung
eben noch andrer Buchstaben) nur entweder 0 oder 1 verknüpft sein,
d. h. der betreffende Konstituent ist in der Entwickelung entweder ganz
oder gar nicht als Glied vorhanden.
Hieraus erhellt, dass jeder Unterfall von a auf eine Alternative
zwischen jenen 7 Konstituenten hinauslaufen, als Summe irgend einer
Gruppe von aus den sieben herausgegriffenen Gliedern darstellbar
sein muss.
Die Anzahl x der erdenklichen Unterfälle von a fällt darum zu-
sammen mit der Anzahl der möglichen additiven Kombinationen unsrer
sieben Konstituenten.
Diese Kombinationen lassen sich aber leicht vollständig auf-
stellen und noch leichter lässt ihre Anzahl sich a priori ermitteln.
Da in Bezug auf jeden einzelnen der 7 Konstituenten (ganz un-
abhängig von den übrigen) die zwei Möglichkeiten vorliegen, dass er
als Alternativfall zugelassen, nämlich als Glied in der Entwickelung
vertreten, oder aber ausgeschlossen, nicht als Glied vorhanden ist, so
haben wir:
x = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27 = 128.
Von dieser Anzahl der möglichen Unterfälle von a ist keine Einheit
in Abzug zu bringen, weil der Fall 0 · a wirklich vorkommen kann, der
Elementarfall a überhaupt nicht vorzuliegen braucht, sofern nämlich nur
von den übrigen Elementarfällen α, β, γ, δ dann allermindestens einer
vorliegt.
Hiermit ist nun auch endlich
128 × 256 — 1 = 27 × 28 — 1,
oder
215 — 1 = 32767
sage: dreissigzweitausend siebenhundert sechzigsieben gefunden als die
Anzahl der inhaltlich verschiedenen Aussagen, Urteile, welche die Logik
des Umfanges über zwei bestimmte Gebiete, Klassen, Begriffe A, B ab-
zugeben, zu fällen vermag.
Es versteht sich übrigens, dass die hier eingeflochtenen auf Zahlen
bezüglichen Betrachtungen (zu denen immer schon die Kenntniss des Ein-
maleinses ausreicht) lediglich als ein Beiwerk unsrer Theorie anzusehen
sind, welche grundsätzlich die Zahlen ganz der Arithmetik überlässt und
wesentliche Schlüsse wol nirgends auf numerische Betrachtungen gründet.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 148. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/172>, abgerufen am 25.11.2024.
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