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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Achtzehnte Vorlesung.

Jeder Komplex von auf dieselben Gebiete A, B bezüglichen Aus-
sagen muss auf eine Alternative zwischen diesen 75 hinauslaufen,
rechnerisch gesprochen durch eine Summe von solchen darstellbar sein.

Da in Bezug auf jede einzelne dieser 75 Aussagen die zwei Möglich-
keiten vorliegen, dass sie (als Summand) zugelassen oder ausgeschlossen
wird, so ergibt dies anscheinend die ungeheure Zahl von 275 -- 1 über A
und B möglichen Aussagen -- um 1 weniger als 275, weil der Fall, wo
jede Aussage ausgeschlossen wird, unzulässig ist, indem die Summe aller
= i sein, also mindestens eine derselben zutreffen muss.

Bei genauerem Zusehen jedoch stellt sich diese Zahl, wenn auch als
eine immer noch erhebliche, so doch als sehr bedeutend kleiner heraus.

Indem wir hiemit dem Problem näher treten: die Anzahl der Ur-
teile zu ermitteln, welche die Logik abzugeben vermag über zwei
oder auch
noch mehr Begriffe -- wird es sich nur um die durchweg von ein-
ander verschiedenen (d. h. wie gesagt, niemals einander allgemein äqui-
valenten), Urteile handeln, und wird die Form, in der sie statuirt, aus-
gesagt werden, als ganz nebensächlich gelten.

Die Formel, welche für n Begriffe obiges Problem löst, ist von
Herrn Peano in dem Vorwort zu seiner Schrift 1 ohne eine Andeutung
über ihre Herleitung bekannt gegeben worden, und werde ich dieselbe
am Schluss dieses Paragraphen begründen.

Für n = 2 hatte ich die Aufgabe (ohne Kenntniss von Peano's
Ergebnisse -- vergl. Bd. 1, S. 713) auf zwei Wegen gelöst die hier
ebenfalls dargelegt werden sollen, und war ich zu einem mit dem
Herrn Peano's sich übereinstimmend erweisenden Ergebniss gelangt.

Der erste Weg ist zwar länger und etwas mühsamer; er studirt
die möglichen Aussagen in ihrer Entwickelung nach den fünf Ger-
gonne'
schen Elementarbeziehungen. Auf dem kürzeren zweiten Wege,
der sich auch zu beliebig viel Klassen ausdehnen liess, werden die
Aussagen lediglich betrachtet als nach De Morgan's vier primitiven
Urteilen entwickelt.

Der erste Weg hat aber den Vorzug, die -- soweit sich zur Zeit
übersehen lässt -- beste Übersicht über die fraglichen Aussagen selbst
zu verschaffen; sein Zuwerkegehen bewährt sich auch für die Ent-
scheidung von Nebenfragen, die mit unserm Probleme zusammenhängen,
als z. B. der Frage nach Zahl und Art der lediglich universalen von
jenen Aussagen.

Schon darum möchte ich zuerst gedachten längeren Weg zu Ende
gehen, und werde behufs Darlegung des kürzesten zweiten das Problem
noch einmal ganz selbständig gegen Ende des Paragraphen aufnehmen,

Achtzehnte Vorlesung.

Jeder Komplex von auf dieselben Gebiete A, B bezüglichen Aus-
sagen muss auf eine Alternative zwischen diesen 75 hinauslaufen,
rechnerisch gesprochen durch eine Summe von solchen darstellbar sein.

Da in Bezug auf jede einzelne dieser 75 Aussagen die zwei Möglich-
keiten vorliegen, dass sie (als Summand) zugelassen oder ausgeschlossen
wird, so ergibt dies anscheinend die ungeheure Zahl von 275 — 1 über A
und B möglichen Aussagen — um 1 weniger als 275, weil der Fall, wo
jede Aussage ausgeschlossen wird, unzulässig ist, indem die Summe aller
= i sein, also mindestens eine derselben zutreffen muss.

Bei genauerem Zusehen jedoch stellt sich diese Zahl, wenn auch als
eine immer noch erhebliche, so doch als sehr bedeutend kleiner heraus.

Indem wir hiemit dem Problem näher treten: die Anzahl der Ur-
teile zu ermitteln, welche die Logik abzugeben vermag über zwei
oder auch
noch mehr Begriffe — wird es sich nur um die durchweg von ein-
ander verschiedenen (d. h. wie gesagt, niemals einander allgemein äqui-
valenten), Urteile handeln, und wird die Form, in der sie statuirt, aus-
gesagt werden, als ganz nebensächlich gelten.

Die Formel, welche für n Begriffe obiges Problem löst, ist von
Herrn Peano in dem Vorwort zu seiner Schrift 1 ohne eine Andeutung
über ihre Herleitung bekannt gegeben worden, und werde ich dieselbe
am Schluss dieses Paragraphen begründen.

Für n = 2 hatte ich die Aufgabe (ohne Kenntniss von Peano’s
Ergebnisse — vergl. Bd. 1, S. 713) auf zwei Wegen gelöst die hier
ebenfalls dargelegt werden sollen, und war ich zu einem mit dem
Herrn Peano’s sich übereinstimmend erweisenden Ergebniss gelangt.

Der erste Weg ist zwar länger und etwas mühsamer; er studirt
die möglichen Aussagen in ihrer Entwickelung nach den fünf Ger-
gonne’
schen Elementarbeziehungen. Auf dem kürzeren zweiten Wege,
der sich auch zu beliebig viel Klassen ausdehnen liess, werden die
Aussagen lediglich betrachtet als nach De Morgan’s vier primitiven
Urteilen entwickelt.

Der erste Weg hat aber den Vorzug, die — soweit sich zur Zeit
übersehen lässt — beste Übersicht über die fraglichen Aussagen selbst
zu verschaffen; sein Zuwerkegehen bewährt sich auch für die Ent-
scheidung von Nebenfragen, die mit unserm Probleme zusammenhängen,
als z. B. der Frage nach Zahl und Art der lediglich universalen von
jenen Aussagen.

Schon darum möchte ich zuerst gedachten längeren Weg zu Ende
gehen, und werde behufs Darlegung des kürzesten zweiten das Problem
noch einmal ganz selbständig gegen Ende des Paragraphen aufnehmen,

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[144/0168] Achtzehnte Vorlesung. Jeder Komplex von auf dieselben Gebiete A, B bezüglichen Aus- sagen muss auf eine Alternative zwischen diesen 75 hinauslaufen, rechnerisch gesprochen durch eine Summe von solchen darstellbar sein. Da in Bezug auf jede einzelne dieser 75 Aussagen die zwei Möglich- keiten vorliegen, dass sie (als Summand) zugelassen oder ausgeschlossen wird, so ergibt dies anscheinend die ungeheure Zahl von 275 — 1 über A und B möglichen Aussagen — um 1 weniger als 275, weil der Fall, wo jede Aussage ausgeschlossen wird, unzulässig ist, indem die Summe aller = i sein, also mindestens eine derselben zutreffen muss. Bei genauerem Zusehen jedoch stellt sich diese Zahl, wenn auch als eine immer noch erhebliche, so doch als sehr bedeutend kleiner heraus. Indem wir hiemit dem Problem näher treten: die Anzahl der Ur- teile zu ermitteln, welche die Logik abzugeben vermag über zwei oder auch noch mehr Begriffe — wird es sich nur um die durchweg von ein- ander verschiedenen (d. h. wie gesagt, niemals einander allgemein äqui- valenten), Urteile handeln, und wird die Form, in der sie statuirt, aus- gesagt werden, als ganz nebensächlich gelten. Die Formel, welche für n Begriffe obiges Problem löst, ist von Herrn Peano in dem Vorwort zu seiner Schrift 1 ohne eine Andeutung über ihre Herleitung bekannt gegeben worden, und werde ich dieselbe am Schluss dieses Paragraphen begründen. Für n = 2 hatte ich die Aufgabe (ohne Kenntniss von Peano’s Ergebnisse — vergl. Bd. 1, S. 713) auf zwei Wegen gelöst die hier ebenfalls dargelegt werden sollen, und war ich zu einem mit dem Herrn Peano’s sich übereinstimmend erweisenden Ergebniss gelangt. Der erste Weg ist zwar länger und etwas mühsamer; er studirt die möglichen Aussagen in ihrer Entwickelung nach den fünf Ger- gonne’schen Elementarbeziehungen. Auf dem kürzeren zweiten Wege, der sich auch zu beliebig viel Klassen ausdehnen liess, werden die Aussagen lediglich betrachtet als nach De Morgan’s vier primitiven Urteilen entwickelt. Der erste Weg hat aber den Vorzug, die — soweit sich zur Zeit übersehen lässt — beste Übersicht über die fraglichen Aussagen selbst zu verschaffen; sein Zuwerkegehen bewährt sich auch für die Ent- scheidung von Nebenfragen, die mit unserm Probleme zusammenhängen, als z. B. der Frage nach Zahl und Art der lediglich universalen von jenen Aussagen. Schon darum möchte ich zuerst gedachten längeren Weg zu Ende gehen, und werde behufs Darlegung des kürzesten zweiten das Problem noch einmal ganz selbständig gegen Ende des Paragraphen aufnehmen,

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 144. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/168>, abgerufen am 23.04.2024.