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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 36. Reduktion auf den Typus der Gleichung und Ungleichung.
mentarbeziehung, bietet nicht mehr das Interesse einer solchen. Die
ev. über ihr Zeichen gesetzte wäre samt diesem vom Negationsstrich
zu durchsetzen, weil in dieser Negation das Verschwinden des an-
gezogenen Terms nicht mehr ausgeschlossen, sondern vielmehr zugelassen
erscheint.

[Die meisten, alle nicht symmetrischen, von den Sätzen V0 sind
in doppelter Ausfertigung angeschrieben, nämlich für das Gebietepaar
A, B sowol als für das B, A.]

Um das Theorem {A B} = {B A}
ganz direkt zu beweisen, könnte man auch die bekannte, seinerzeit als
Definition der rechten Seite hingestellte Äquivalenz:
{A B} = {B A}
nach Th. 19x) überschiebend multipliziren mit der andern:
{A B} = {B A}
welche sich aus dem Zusatze zu Def. (1): {A = B} = {B = A} durch
beiderseitiges Negiren nach Th. 32), ergibt. Man hätte dabei blos zu be-
rücksichtigen, dass laut Definition von e und f nach [20] sein muss:
(b1 c =) c d1 = f und (b c1 =) b d1 = e,
wie sich dies auch aus dem Tableau III0 bewahrheitet.

Ebenso lässt sich das Theorem:
{A B} = {A1 B1}, also auch = {B1 A1}
beweisen, indem man die nach Th. 37) bekannte Äquivalenz:
{A B} = {A1 B1}
überschiebend multiplizirt mit der Gleichung:
{A B} = {A1 B1}
welche sich aus dem Th. 32) durch Anwendung auf sich selbst ergab.

Die Formeln der ersten beiden Zeilen in V0 zeigen, dass das Zeichen
"der Disjunktion", welches die Gebietgemeinschaft verneint und zu-
gleich dem Elementarfall a entspricht, sich vertreten lässt durch das
Subsumtionszeichen , somit auch die Verneinung des erstern durch
die des letztern, d. h. dass ebenso das Zeichen der Gebietgemein-
schaft a1 entbehrlich gemacht werden kann durch dasjenige der Sub-
sumtionenverneinung oder Nicht-Einordnung. Gegenüber dem letzteren
hat aber das erstere Zeichen den Vorzug der Symmetrie.

Es ist demnach auch und ein Paar von Beziehungszeichen,
welches für die Logik des Umfanges ausreichen würde, während mit einem
derselben allein (im frühern Sinne) nicht auszukommen wäre. Ebendieser,
die sie nur äusserlich anders gestaltet, bedient sich Miss Ladd in 1.

§ 36. Reduktion auf den Typus der Gleichung und Ungleichung.
mentarbeziehung, bietet nicht mehr das Interesse einer solchen. Die
ev. über ihr Zeichen gesetzte ∘ wäre samt diesem vom Negationsstrich
zu durchsetzen, weil in dieser Negation das Verschwinden des an-
gezogenen Terms nicht mehr ausgeschlossen, sondern vielmehr zugelassen
erscheint.

[Die meisten, alle nicht symmetrischen, von den Sätzen V0 sind
in doppelter Ausfertigung angeschrieben, nämlich für das Gebietepaar
A, B sowol als für das B, A.]

Um das Theorem {A ⊂ B} = {B ⊃ A}
ganz direkt zu beweisen, könnte man auch die bekannte, seinerzeit als
Definition der rechten Seite hingestellte Äquivalenz:
{A ⊆ B} = {B ⊆ A}
nach Th. 1̅9̅×) überschiebend multipliziren mit der andern:
{A ≠ B} = {B ≠ A}
welche sich aus dem Zusatze zu Def. (1): {A = B} = {B = A} durch
beiderseitiges Negiren nach Th. 3̅2̅), ergibt. Man hätte dabei blos zu be-
rücksichtigen, dass laut Definition von e und f nach [20] sein muss:
(b1 c =) c d1 = f und (b c1 =) b d1 = e,
wie sich dies auch aus dem Tableau III0 bewahrheitet.

Ebenso lässt sich das Theorem:
{A ⊂ B} = {A1 ⊃ B1}, also auch = {B1 ⊂ A1}
beweisen, indem man die nach Th. 37) bekannte Äquivalenz:
{A ⊆ B} = {A1 ⊆ B1}
überschiebend multiplizirt mit der Gleichung:
{A ≠ B} = {A1 ≠ B1}
welche sich aus dem Th. 32) durch Anwendung auf sich selbst ergab.

Die Formeln der ersten beiden Zeilen in V0 zeigen, dass das Zeichen
⊆ „der Disjunktion“, welches die Gebietgemeinschaft verneint und zu-
gleich dem Elementarfall a entspricht, sich vertreten lässt durch das
Subsumtionszeichen ⊆, somit auch die Verneinung des erstern durch
die des letztern, d. h. dass ebenso das Zeichen ⊆ der Gebietgemein-
schaft a1 entbehrlich gemacht werden kann durch dasjenige ⊆ der Sub-
sumtionenverneinung oder Nicht-Einordnung. Gegenüber dem letzteren
hat aber das erstere Zeichen den Vorzug der Symmetrie.

Es ist demnach auch ⊆ und ⊆ ein Paar von Beziehungszeichen,
welches für die Logik des Umfanges ausreichen würde, während mit einem
derselben allein (im frühern Sinne) nicht auszukommen wäre. Ebendieser,
die sie nur äusserlich anders gestaltet, bedient sich Miss Ladd in 1.

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[123/0147] § 36. Reduktion auf den Typus der Gleichung und Ungleichung. mentarbeziehung, bietet nicht mehr das Interesse einer solchen. Die ev. über ihr Zeichen gesetzte ∘ wäre samt diesem vom Negationsstrich zu durchsetzen, weil in dieser Negation das Verschwinden des an- gezogenen Terms nicht mehr ausgeschlossen, sondern vielmehr zugelassen erscheint. [Die meisten, alle nicht symmetrischen, von den Sätzen V0 sind in doppelter Ausfertigung angeschrieben, nämlich für das Gebietepaar A, B sowol als für das B, A.] Um das Theorem {A ⊂ B} = {B ⊃ A} ganz direkt zu beweisen, könnte man auch die bekannte, seinerzeit als Definition der rechten Seite hingestellte Äquivalenz: {A  B} = {B  A} nach Th. 1̅9̅×) überschiebend multipliziren mit der andern: {A ≠ B} = {B ≠ A} welche sich aus dem Zusatze zu Def. (1): {A = B} = {B = A} durch beiderseitiges Negiren nach Th. 3̅2̅), ergibt. Man hätte dabei blos zu be- rücksichtigen, dass laut Definition von e und f nach [20] sein muss: (b1 c =) c d1 = f und (b c1 =) b d1 = e, wie sich dies auch aus dem Tableau III0 bewahrheitet. Ebenso lässt sich das Theorem: {A ⊂ B} = {A1 ⊃ B1}, also auch = {B1 ⊂ A1} beweisen, indem man die nach Th. 37) bekannte Äquivalenz: {A  B} = {A1  B1} überschiebend multiplizirt mit der Gleichung: {A ≠ B} = {A1 ≠ B1} welche sich aus dem Th. 32) durch Anwendung auf sich selbst ergab. Die Formeln der ersten beiden Zeilen in V0 zeigen, dass das Zeichen  „der Disjunktion“, welches die Gebietgemeinschaft verneint und zu- gleich dem Elementarfall a entspricht, sich vertreten lässt durch das Subsumtionszeichen , somit auch die Verneinung des erstern durch die des letztern, d. h. dass ebenso das Zeichen  der Gebietgemein- schaft a1 entbehrlich gemacht werden kann durch dasjenige  der Sub- sumtionenverneinung oder Nicht-Einordnung. Gegenüber dem letzteren hat aber das erstere Zeichen den Vorzug der Symmetrie. Es ist demnach auch  und  ein Paar von Beziehungszeichen, welches für die Logik des Umfanges ausreichen würde, während mit einem derselben allein (im frühern Sinne) nicht auszukommen wäre. Ebendieser, die sie nur äusserlich anders gestaltet, bedient sich Miss Ladd in 1.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 123. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/147>, abgerufen am 27.04.2024.