§ 37. Entwickelung der Produkte und Summen von Grundbeziehungen.
(Überschlagbar.)
Wir wollen nun an unsre Umfangsbeziehungen noch einige Studien an- knüpfen, welche derjenige Leser überschlagen mag, der etwa rasch dem Hauptprobleme und den Syllogismen zueilen möchte. Ein solcher wird auch die übrigen Paragraphen gegenwärtiger Vorlesung vorerst überspringen können, deren Thema wir jedoch für ein an sich kaum minder interessautes und wichtiges erklären müssen. Wir reden demnächst nur von Beziehungen zwischen durchweg denselben zwei Gebieten A und B.
Das Produkt von irgend zwei verschiedenen Elementarbeziehungen ist 0, weil diese disjunkt sind, einander gegenseitig ausschliessen. Eine Summe von solchen ist einfach hinzuschreiben und lässt sich nicht ver- einfachen.
Dagegen kann man für die Produkte und Summen von Grund- beziehungen verlangen, dass dieselben entwickelt werden, so, dass klar zu sehen ist, wie viel jeweils davon unter eine jede der fünf Elementar- abteilungen fällt.
Auf Grund der Tafel III0 des § 35 ist die Ermittelung dieser Ver- knüpfungsergebnisse eine blosse Rechenübung. Wir bringen die Resul- tate in übersichtliche Tabellen, die auch für rasches Nachschlagen erwünscht sein können.
Bei der Bildung der Produkte von nach den fünf Fächern a, a, b, g, d geordneten Summen ist der Vorteil zu beachten, dass das Aus- multipliziren zu bewerkstelligen ist durch einfaches Übereinanderschieben, Superponiren derselben, nämlich durch multiplikative Verknüpfung von immer nur den gleichstelligen Termen -- geradeso, wie bei nach den- selben Argumenten entwickelten Funktionen in Th. 45+) geschildert -- weil die ungleichstelligen Terme hier ebenfalls disjunkt sein müssen -- vergl. den Zusatz Bd. 1, S. 422.
In sämtlichen Tafeln sind die lateinischen Symbole rechterhand durch ihre Werte aus dem Tableau III0 ersetzt zu denken; insbesondere ist also a unverändert zu lassen, h k, h k1 und h1k gemäss der ersten Zeile von VI0 mit dem Faktor a versehen zu denken, während g rechts immer den Elementarfall a vertritt.
Es sind die Tafeln dazu bestimmt, wenn über zwei Gebiete oder Klassen A und B eine ganze Reihe von Aussagen gegeben sein sollte, die irgendwelche Elementar- oder Grundbeziehungen zwischen denselben als simultan oder alternativ geltende oder nichtgeltende hinstellen, den logischen Gehalt der aus all' diesen Aussagen sich zusammensetzenden Kollektiv-
Achtzehnte Vorlesung.
§ 37. Entwickelung der Produkte und Summen von Grundbeziehungen.
(Überschlagbar.)
Wir wollen nun an unsre Umfangsbeziehungen noch einige Studien an- knüpfen, welche derjenige Leser überschlagen mag, der etwa rasch dem Hauptprobleme und den Syllogismen zueilen möchte. Ein solcher wird auch die übrigen Paragraphen gegenwärtiger Vorlesung vorerst überspringen können, deren Thema wir jedoch für ein an sich kaum minder interessautes und wichtiges erklären müssen. Wir reden demnächst nur von Beziehungen zwischen durchweg denselben zwei Gebieten A und B.
Das Produkt von irgend zwei verschiedenen Elementarbeziehungen ist 0, weil diese disjunkt sind, einander gegenseitig ausschliessen. Eine Summe von solchen ist einfach hinzuschreiben und lässt sich nicht ver- einfachen.
Dagegen kann man für die Produkte und Summen von Grund- beziehungen verlangen, dass dieselben entwickelt werden, so, dass klar zu sehen ist, wie viel jeweils davon unter eine jede der fünf Elementar- abteilungen fällt.
Auf Grund der Tafel III0 des § 35 ist die Ermittelung dieser Ver- knüpfungsergebnisse eine blosse Rechenübung. Wir bringen die Resul- tate in übersichtliche Tabellen, die auch für rasches Nachschlagen erwünscht sein können.
Bei der Bildung der Produkte von nach den fünf Fächern a, α, β, γ, δ geordneten Summen ist der Vorteil zu beachten, dass das Aus- multipliziren zu bewerkstelligen ist durch einfaches Übereinanderschieben, Superponiren derselben, nämlich durch multiplikative Verknüpfung von immer nur den gleichstelligen Termen — geradeso, wie bei nach den- selben Argumenten entwickelten Funktionen in Th. 45+) geschildert — weil die ungleichstelligen Terme hier ebenfalls disjunkt sein müssen — vergl. den Zusatz Bd. 1, S. 422.
In sämtlichen Tafeln sind die lateinischen Symbole rechterhand durch ihre Werte aus dem Tableau III0 ersetzt zu denken; insbesondere ist also a unverändert zu lassen, h k, h k1 und h1k gemäss der ersten Zeile von VI0 mit dem Faktor a versehen zu denken, während g rechts immer den Elementarfall α vertritt.
Es sind die Tafeln dazu bestimmt, wenn über zwei Gebiete oder Klassen A und B eine ganze Reihe von Aussagen gegeben sein sollte, die irgendwelche Elementar- oder Grundbeziehungen zwischen denselben als simultan oder alternativ geltende oder nichtgeltende hinstellen, den logischen Gehalt der aus all’ diesen Aussagen sich zusammensetzenden Kollektiv-
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Achtzehnte Vorlesung.
§ 37. Entwickelung der Produkte und Summen von Grundbeziehungen.
(Überschlagbar.)
Wir wollen nun an unsre Umfangsbeziehungen noch einige Studien an-
knüpfen, welche derjenige Leser überschlagen mag, der etwa rasch dem
Hauptprobleme und den Syllogismen zueilen möchte. Ein solcher wird auch
die übrigen Paragraphen gegenwärtiger Vorlesung vorerst überspringen
können, deren Thema wir jedoch für ein an sich kaum minder interessautes
und wichtiges erklären müssen. Wir reden demnächst nur von Beziehungen
zwischen durchweg denselben zwei Gebieten A und B.
Das Produkt von irgend zwei verschiedenen Elementarbeziehungen
ist 0, weil diese disjunkt sind, einander gegenseitig ausschliessen. Eine
Summe von solchen ist einfach hinzuschreiben und lässt sich nicht ver-
einfachen.
Dagegen kann man für die Produkte und Summen von Grund-
beziehungen verlangen, dass dieselben entwickelt werden, so, dass klar
zu sehen ist, wie viel jeweils davon unter eine jede der fünf Elementar-
abteilungen fällt.
Auf Grund der Tafel III0 des § 35 ist die Ermittelung dieser Ver-
knüpfungsergebnisse eine blosse Rechenübung. Wir bringen die Resul-
tate in übersichtliche Tabellen, die auch für rasches Nachschlagen
erwünscht sein können.
Bei der Bildung der Produkte von nach den fünf Fächern a, α, β,
γ, δ geordneten Summen ist der Vorteil zu beachten, dass das Aus-
multipliziren zu bewerkstelligen ist durch einfaches Übereinanderschieben,
Superponiren derselben, nämlich durch multiplikative Verknüpfung von
immer nur den gleichstelligen Termen — geradeso, wie bei nach den-
selben Argumenten entwickelten Funktionen in Th. 45+) geschildert —
weil die ungleichstelligen Terme hier ebenfalls disjunkt sein müssen —
vergl. den Zusatz Bd. 1, S. 422.
In sämtlichen Tafeln sind die lateinischen Symbole rechterhand durch
ihre Werte aus dem Tableau III0 ersetzt zu denken; insbesondere ist
also a unverändert zu lassen, h k, h k1 und h1 k gemäss der ersten Zeile
von VI0 mit dem Faktor a versehen zu denken, während g rechts immer
den Elementarfall α vertritt.
Es sind die Tafeln dazu bestimmt, wenn über zwei Gebiete oder
Klassen A und B eine ganze Reihe von Aussagen gegeben sein sollte, die
irgendwelche Elementar- oder Grundbeziehungen zwischen denselben als
simultan oder alternativ geltende oder nichtgeltende hinstellen, den logischen
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 124. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/148>, abgerufen am 16.02.2025.
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