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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Siebzehnte Vorlesung.
auch im systematischen Aufbau der Theorie jetzt ihre rechtmässige
Stelle gefunden.

Siebentens mögen wir als Hülfssatz notiren:

70)f h = h k1und 70)'e k = h1 k.

In der That muss sein:
f h = f k1 h = b1 c k1 h = b1 k1 h = h k1
wo beim Übergang über jedes Gleichheitszeichen ein früherer Satz zur
Anwendung kommt; und zwar ist der erste Übergang gerechtfertigt,
weil nach Hülfssatz 40) f = f k1 ist, der zweite, weil nach Def. [40]
f = b1 c, der nächste, weil nach Hülfssatz 10) c h = h ist, und der letzte
indem nach 20)' direkt b1 h k1 = h k1 ist. Analog haben wir auch:
e k = e h1 k = b c1 h1 k = c1 h1 k = h1 k
zur Rechtfertigung der zweiten Formel unsres Hülfssatzes.

Man kann auch etwas kürzer auf 70) schliessen, indem man die letzte
Subsumtion von 40) beiderseits mit h multiplizirt, wodurch sich zunächst
f h h k1 ergibt.

Dass aber auch umgekehrt h k1 f h sein muss, und darum Gleichheit
eintritt, ergibt sich sogleich aus der Überlegung, dass 0 B nach Def. (2x)
sein muss; wenn also, während A = 0 kraft h, und sonach A B ist,
d. h. c gilt, B ungleich 0 -- in Formeln B 0 -- vorausgesetzt wird
gemäss k1, so ist die Gleichheit A = B oder d ausgeschlossen und bleibt
mit Rücksicht auf 60) oder c = d + f nur mehr die Alternative A B
oder f übrig.

Nach Th. 6x) ist f h f, e k e, sonach folgt gemäss Th. 3) auch
aus 70) und 70)' dass
h k1 f, h1 k e.

Ersteres, oder (A = 0) (B 0) (A B) lässt auch in:
(B 0) (0 B)
sich zusammenziehen, indem man für A den vorausgesetzten Nullwert
beiderseits einsetzt, wodurch links der erste Faktor in (0 = 0) = i
übergeht und als ein stetsfort gültiger selbstverständlicher gemäss
Th. 21x) unterdrückt werden darf. Dies Ergebniss lehrt, dass das Null-
gebiet wirklich untergeordnet ist jedem von 0 verschiedenen Gebiete, und
bildet es sonach eine Umkehrung und Ergänzung zu 40).

Es bleiben jetzt noch die Grundbeziehungen a1 und g zu definiren
-- die ersten und die letzten von allen.

Wir definiren:

Siebzehnte Vorlesung.
auch im systematischen Aufbau der Theorie jetzt ihre rechtmässige
Stelle gefunden.

Siebentens mögen wir als Hülfssatz notiren:

70)f h = h k1und 70)'e k = h1 k.

In der That muss sein:
f h = f k1 h = b1 c k1 h = b1 k1 h = h k1
wo beim Übergang über jedes Gleichheitszeichen ein früherer Satz zur
Anwendung kommt; und zwar ist der erste Übergang gerechtfertigt,
weil nach Hülfssatz 40) f = f k1 ist, der zweite, weil nach Def. [40]
f = b1 c, der nächste, weil nach Hülfssatz 10) c h = h ist, und der letzte
indem nach 20)' direkt b1 h k1 = h k1 ist. Analog haben wir auch:
e k = e h1 k = b c1 h1 k = c1 h1 k = h1 k
zur Rechtfertigung der zweiten Formel unsres Hülfssatzes.

Man kann auch etwas kürzer auf 70) schliessen, indem man die letzte
Subsumtion von 40) beiderseits mit h multiplizirt, wodurch sich zunächst
f h ⊆ h k1 ergibt.

Dass aber auch umgekehrt h k1 ⊆ f h sein muss, und darum Gleichheit
eintritt, ergibt sich sogleich aus der Überlegung, dass 0 ⊆ B nach Def. (2×)
sein muss; wenn also, während A = 0 kraft h, und sonach A ⊆ B ist,
d. h. c gilt, B ungleich 0 — in Formeln B ≠ 0 — vorausgesetzt wird
gemäss k1, so ist die Gleichheit A = B oder d ausgeschlossen und bleibt
mit Rücksicht auf 60) oder c = d + f nur mehr die Alternative A ⊂ B
oder f übrig.

Nach Th. 6×) ist f h ⊆ f, e k ⊆ e, sonach folgt gemäss Th. 3) auch
aus 70) und 70)' dass
h k1 ⊆ f, h1 k ⊆ e.

Ersteres, oder (A = 0) (B ≠ 0) ⊆ (A ⊂ B) lässt auch in:
(B ≠ 0) ⊆ (0 ⊂ B)
sich zusammenziehen, indem man für A den vorausgesetzten Nullwert
beiderseits einsetzt, wodurch links der erste Faktor in (0 = 0) = i
übergeht und als ein stetsfort gültiger selbstverständlicher gemäss
Th. 2̅1̅×) unterdrückt werden darf. Dies Ergebniss lehrt, dass das Null-
gebiet wirklich untergeordnet ist jedem von 0 verschiedenen Gebiete, und
bildet es sonach eine Umkehrung und Ergänzung zu 40).

Es bleiben jetzt noch die Grundbeziehungen a1 und g zu definiren
— die ersten und die letzten von allen.

Wir definiren:

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[110/0134] Siebzehnte Vorlesung. auch im systematischen Aufbau der Theorie jetzt ihre rechtmässige Stelle gefunden. Siebentens mögen wir als Hülfssatz notiren: 70) f h = h k1 und 70)' e k = h1 k. In der That muss sein: f h = f k1 h = b1 c k1 h = b1 k1 h = h k1 wo beim Übergang über jedes Gleichheitszeichen ein früherer Satz zur Anwendung kommt; und zwar ist der erste Übergang gerechtfertigt, weil nach Hülfssatz 40) f = f k1 ist, der zweite, weil nach Def. [40] f = b1 c, der nächste, weil nach Hülfssatz 10) c h = h ist, und der letzte indem nach 20)' direkt b1 h k1 = h k1 ist. Analog haben wir auch: e k = e h1 k = b c1 h1 k = c1 h1 k = h1 k zur Rechtfertigung der zweiten Formel unsres Hülfssatzes. Man kann auch etwas kürzer auf 70) schliessen, indem man die letzte Subsumtion von 40) beiderseits mit h multiplizirt, wodurch sich zunächst f h  h k1 ergibt. Dass aber auch umgekehrt h k1  f h sein muss, und darum Gleichheit eintritt, ergibt sich sogleich aus der Überlegung, dass 0  B nach Def. (2×) sein muss; wenn also, während A = 0 kraft h, und sonach A  B ist, d. h. c gilt, B ungleich 0 — in Formeln B ≠ 0 — vorausgesetzt wird gemäss k1, so ist die Gleichheit A = B oder d ausgeschlossen und bleibt mit Rücksicht auf 60) oder c = d + f nur mehr die Alternative A ⊂ B oder f übrig. Nach Th. 6×) ist f h  f, e k  e, sonach folgt gemäss Th. 3) auch aus 70) und 70)' dass h k1  f, h1 k  e. Ersteres, oder (A = 0) (B ≠ 0)  (A ⊂ B) lässt auch in: (B ≠ 0)  (0 ⊂ B) sich zusammenziehen, indem man für A den vorausgesetzten Nullwert beiderseits einsetzt, wodurch links der erste Faktor in (0 = 0) = i übergeht und als ein stetsfort gültiger selbstverständlicher gemäss Th. 2̅1̅×) unterdrückt werden darf. Dies Ergebniss lehrt, dass das Null- gebiet wirklich untergeordnet ist jedem von 0 verschiedenen Gebiete, und bildet es sonach eine Umkehrung und Ergänzung zu 40). Es bleiben jetzt noch die Grundbeziehungen a1 und g zu definiren — die ersten und die letzten von allen. Wir definiren:

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 110. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/134>, abgerufen am 16.02.2025.