Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

§ 35. Umfangsbeziehungen analytisch definirt u. aufeinander zurückgeführt.

Demnächst soll f definirt werden durch:
[4⁰] f = c'₁ c = b₁ c, somit f₁ = c' + c₁ = b + c₁,
{A ⊂ B} = {A ⊆ B} {B ⊆ A} = {A ⊆ B} {A ⊆ B};
und analog e durch:
[5⁰] e = f' = c' c₁ = b c₁, e₁ = c₁' + c = b₁ + c,
{A ⊃ B} = {B ⊂ A} = {B ⊆ A} {A ⊆ B} = {A ⊆ B} {A ⊆ B}.

Viertens folgt dann, weil unter 1⁰)' bereits b₁ k = 0 erwiesen ist,
dass auch b₁ c k = 0, oder:
4⁰) f k = 0, f k₁ = f, f₁ k = k, k ⊆ f₁, f ⊆ k₁,
und analog, weil c₁ h = 0 nach 1⁰) ist:
4⁰)' e h = 0, e h₁ = e, e₁ h = h, h ⊆ e₁, e ⊆ h₁.

Die letzten Subsumtionen rechts zeigen, dass in jeder Unter- oder
Überordnung der terminus major von 0 verschieden sein muss.

Fünftens. Sofort folgt aus den Definitionen [2⁰], [4⁰], [5⁰] nach
Th. 30_×) auch:
5⁰) d e = 0, d f = 0, e f = 0,
woraus zu sehen ist, dass die Fälle d, e, f einander gegenseitig aus-
schliessen. In Bezug auf Gleichheit d und Unterordnung f wurde dies
schon in § 1 betont.

Sechstens haben wir nach Th. 30_×):
b = b · i = b (c + c₁) = b c + b c₁, ebenso c = b c + b₁ c
und mit Rücksicht auf die erwähnten Definitionen gibt dieses:
6⁰) b = d + e, c = d + f, b₁ = d₁ e₁, c₁ = d₁ f₁.

Ausführlich angeschrieben lautet die zweite c = f + d dieser Glei-
chungen nun:
{A ⊆ B} = {A ⊂ B} + {A = B},
womit es gerechtfertigt erscheint, das Subsumtionszeichen ⊆ als „unter-
geordnet oder gleich“ zu lesen. Die Formel sagt nämlich als disjunktives
Urteil aus: wenn A ⊆ B ist, so ist entweder A untergeordnet B; oder
aber [„oder aber“ wegen d f = 0, cf. 5⁰)] es ist A gleich B — und
vice versa. Betrachtungen, welche wir motivirens halber in dem ein-
leitenden § 1 sogar zum Ausgangspunkt genommen, haben hiermit