Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

§ 35. Definition und Zusammenhang von Umfangsbeziehungen.

[6⁰] a = {A ⊆ B} = {A B ⊆ 0} = {A B = 0}
welche letzten beiden Propositionen nach Th. 5_×) ja äquivalent sind.

Durch Negiren jeder Seite dieser Aussagenäquivalenz gemäss Th. 32)
ergibt sich hienach auch die Definition von
a₁ = {A ⊆ B} = {A B ⊆ 0} = {A B ≠ 0}.

Achtens. Da aus A = 0 auch A B = 0 nach Th. 22_×) folgt, so
haben wir:
8⁰) h ⊆ a, a₁ ⊆ h₁, a₁ h = 0, a₁ h₁ = a₁, a h = h,
8⁰)' k ⊆ a, a₁ ⊆ k₁, a₁ k = 0, a₁ k₁ = a₁, a k = k,
und muss hienach namentlich sein:
8⁰)'' a₁ = a₁ h₁ = a₁ k₁ = a₁ h₁ k₁
— letzteres gemäss Th. 14_×), indem a₁ = a₁ a₁ = a₁ h, · a₁ k₁ nach dem
Vorhergehenden ist.

Neuntens. Wenn neben A B = 0 auch A ⊆ B gilt, so folgt
nach Th. 16_×) A B ⊆ B B, also 0 ⊆ B oder 0 = B nach bekannten
Sätzen, d. h. wir haben:
9⁰) a b ⊆ k, a b k₁ = 0, a b k = a b, a b₁ k₁ = a k₁, a₁ b k₁ = b k₁.

Analog ist (A B = 0) (A ⊆ B) ⊆ (A = 0), oder:
9⁰)' a c ⊆ h, a c h₁ = 0, a c h = a c, a c₁ h₁ = a h₁, a₁ c h₁ = c h₁.

Durch beiderseitiges Multipliziren mit c₁ resp. b₁ folgt aus der letzten
rechts von den gewonnenen Gleichungen noch:
a₁ b c₁ k₁ = b c₁ k₁ und a₁ b₁ c h₁ = b₁ c h₁,
oder wegen Def. [4⁰] und [5⁰]:
a₁ e k₁ = e k₁, a₁ f h₁ = f h₁.

Nach 8⁰) dürfen wir aber a₁ k₁ und a₁ h₁ durch a₁ links ersetzen
und erhalten:

90)''

a_1 e = e k_1,

90)'''

a_1 f = f h_1,

womit rechnerisch aus der Definition nachgewiesen ist, dass die Unter-
ordnung A ⊂ B nur soferne A ≠ 0 ist unter die Beziehung A ⊆ B der
Gebietgemeinschaft fällt, etc.

Zehntens. Ist A B = 0 und zugleich A = B, so folgt auch
A A = 0 oder A = 0, desgleichen B = 0. Also haben wir: