Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

Siebzehnte Vorlesung.

Wir müssen uns demnächst auch auf die Aussagen A = 0 sowie
B = 0 berufen, weshalb wir auch diese mit Symbolen zu bezeichnen
haben, und zwar bedeute:
[3⁰] h = {A = 0}, h' = {B = 0} = k.

Alsdann gelten folgende Hülfssätze, deren wir gelegentlich bedürfen.

Erstens. Ist A = 0, so gilt nach Def. (2_×) auch A ⊆ B, d. h.
es ist:
h ⊆ c;
von dieser Subsumtion aber sind nach Th. 43), Anm. 2 (Bd. 1, S. 400)
folgende Umschreibungen zulässig:
c₁ ⊆ h₁, h = h c, c = h + c, h₁ = h₁ + c₁, c₁ = h₁ c₁, h c₁ = 0, h₁ + c = i.
Um darauf Bezug zu nehmen wollen wir von diesen allen nur die-
jenigen hervorheben, welche kein + Zeichen enthalten, — und analog
verfahren wir auch künftig in ähnlichen Fällen — demgemäss notiren
wir als ersten Hülfssatz:
1⁰) h ⊆ c, c₁ ⊆ h₁, h = h c, c₁ = h₁ c₁, h c₁ = 0.
Vertauscht man hierin in Gedanken A und B, so erhält man dazu
noch ebenso:
1⁰)' k ⊆ b, b₁ ⊆ k₁, k = k b, b₁ = k₁ b₁, k b₁ = 0.

Zweitens. Ist A ⊆ B und B = 0, so folgt nach Th. 5_×) auch
A = 0, d. h. es ist:
2⁰) c k ⊆ h, woraus: c h₁ k = 0, c h k = c k, c h₁ k₁ = c h₁, c₁ h₁ k = h₁ k.
Analog gilt desgleichen:
2⁰)' b h ⊆ k, b h k₁ = 0, b h k = b h, b h₁ k₁ = b k₁, b₁ h k₁ = h k₁.

Drittens. Ist A = B und A = 0, so folgt nach Th. 4) auch
B = 0, d. h. es ist d h ⊆ k und analog d k ⊆ h. Endlich aus A = 0
und B = 0 folgt in gleicher Weise A = B, d. h. es ist auch h k ⊆ d.
Somit ist zu notiren:
3⁰) d h ⊆ k, d h k₁ = 0, d h k = d h, d h₁ k₁ = d k₁ d₁ h k₁ = h k₁,
3⁰)' d k ⊆ h, d h₁ k = 0, d h k = d k, d h₁ k₁ = d h₁, d₁ h₁ k = h₁ k,
3⁰)'' h k ⊆ d, d₁ h k = 0, d h k = h k, d₁ h k₁ = d₁ h, d₁ h₁ k = d₁ k,
oder, wenn wir einen Teil dieser Resultate zusammenfassen:
3⁰)''' h k = d h = d k = d h k, d h₁ = d k₁ = d h₁ k₁. —