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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 34. Elementar- und Grundbeziehungen, anschaulich eingeführt.
musste, um die identische Multiplikation A · B zu einer allgemein an-
wendbaren oder unbedingt ausführbaren Operation zu machen.

Wir sind nämlich bereits verpflichtet, die Gleichung
0 = 0
als richtig anzuerkennen, das Beziehungszeichen der Gleichheit also
als ein auch anwendbares gelten zu lassen, mit auszudehnen auf den
Fall, wo eines der beiden verglichenen Gebiete und dann also auch
das andre in 0 ausartet, degenerirt. Da für A = B = 0 auch
A B = 0 ist, so gehört dieser Fall aber gar nicht zu a1 (und folglich
auch nicht zu a100 oder d), sondern zu a.

Ebenso finden wir für die Zulassung des Falles A = 0 bei f und
des Falles B = 0 bei e Bestimmungsgründe vor.

Beim Studium der Subsumtion kamen wir ja dazu, auch die Pro-
positionen
0 B, A 0
aufzustellen -- cf. Def. (2x) -- und sollte eine solche Subsumtion
0 B nach § 1 uns ausdrücken, dass entweder 0 = B oder aber
0 B sei. Sooft nun also nicht gerade B = 0, das heisst, sooft
B 0 ist, müssen wir auch:
0 B, entsprechend desgleichen A 0
für ein von 0 verschiedenes A, stets gelten lassen. In diesen beiden
Fällen ist nun aber wiederum A B [ = 0 · B resp. A · 0] = 0, sodass
sie unter a, nicht aber unter a1 und g, resp. b, fallen.

Die Zeichen =, , wurden schon in § 1 beschrieben, motivirt
und gerechtfertigt. Das Zeichen , in dessen Wahl ich mit Wundt zu-
sammentreffe, spricht für sich selbst, insofern es erstens zunächst nicht un-
geeignet erscheint, vor allem nämlich gebührend symmetrisch ist -- nicht
nur, was minder wichtig, in Bezug auf oben und unten, wo die Symmetrie
angezeigt erscheint in Ermangelung jeden Grundes, es nach diesen Rich-
tungen verschieden zu gestalten -- sondern auch, was erheblicher, in Be-
zug auf links und rechts, wie es denn auch eine symmetrische Beziehung
zwischen den durch dasselbe als linke und rechte Seite zu verknüpfenden
Ausdrücken darzustellen hat: sooft A B, wird auch B A sich als
gültig erweisen, sodass man die Propositionen dieser Art nun ohne weiteres,
wird rückwärts lesen können. Zweitens aber empfiehlt sich jenes Zeichen
als das allergeeignetste dadurch, dass es die wirkliche, zwischen den Gebieten
A und B bestehende Beziehung in sich abbildet, den wesentlichen Teil der
Figur 16 kopirt: man braucht die divergirenden Äste eines jeden der
beiden in unserm Zeichen einander durchsetzenden Bögen nur fortgesetzt
zu denken, sei es in's Unbegrenzte, sei es -- noch besser -- so, dass sie
etwa je zu einem Ovale sich zusammenschliessen, so wird man die Kon-
turen der Gebiete A und B vollständig in dem Zeichen erblicken, und

Schröder, Algebra der Logik. II. 7

§ 34. Elementar- und Grundbeziehungen, anschaulich eingeführt.
musste, um die identische Multiplikation A · B zu einer allgemein an-
wendbaren oder unbedingt ausführbaren Operation zu machen.

Wir sind nämlich bereits verpflichtet, die Gleichung
0 = 0
als richtig anzuerkennen, das Beziehungszeichen der Gleichheit also
als ein auch anwendbares gelten zu lassen, mit auszudehnen auf den
Fall, wo eines der beiden verglichenen Gebiete und dann also auch
das andre in 0 ausartet, degenerirt. Da für A = B = 0 auch
A B = 0 ist, so gehört dieser Fall aber gar nicht zu a1 (und folglich
auch nicht zu a100 oder δ), sondern zu a.

Ebenso finden wir für die Zulassung des Falles A = 0 bei f und
des Falles B = 0 bei e Bestimmungsgründe vor.

Beim Studium der Subsumtion kamen wir ja dazu, auch die Pro-
positionen
0 ⊆ B, A ⊆ 0
aufzustellen — cf. Def. (2×) — und sollte eine solche Subsumtion
0 ⊆ B nach § 1 uns ausdrücken, dass entweder 0 = B oder aber
0 ⊂ B sei. Sooft nun also nicht gerade B = 0, das heisst, sooft
B ≠ 0 ist, müssen wir auch:
0 ⊂ B, entsprechend desgleichen A ⊃ 0
für ein von 0 verschiedenes A, stets gelten lassen. In diesen beiden
Fällen ist nun aber wiederum A B [ = 0 · B resp. A · 0] = 0, sodass
sie unter a, nicht aber unter a1 und γ, resp. β, fallen.

Die Zeichen =, ⊂ , ⊃ wurden schon in § 1 beschrieben, motivirt
und gerechtfertigt. Das Zeichen ⊆ , in dessen Wahl ich mit Wundt zu-
sammentreffe, spricht für sich selbst, insofern es erstens zunächst nicht un-
geeignet erscheint, vor allem nämlich gebührend symmetrisch ist — nicht
nur, was minder wichtig, in Bezug auf oben und unten, wo die Symmetrie
angezeigt erscheint in Ermangelung jeden Grundes, es nach diesen Rich-
tungen verschieden zu gestalten — sondern auch, was erheblicher, in Be-
zug auf links und rechts, wie es denn auch eine symmetrische Beziehung
zwischen den durch dasselbe als linke und rechte Seite zu verknüpfenden
Ausdrücken darzustellen hat: sooft A ⊆ B, wird auch B ⊆ A sich als
gültig erweisen, sodass man die Propositionen dieser Art nun ohne weiteres,
wird rückwärts lesen können. Zweitens aber empfiehlt sich jenes Zeichen
als das allergeeignetste dadurch, dass es die wirkliche, zwischen den Gebieten
A und B bestehende Beziehung in sich abbildet, den wesentlichen Teil der
Figur 16 kopirt: man braucht die divergirenden Äste eines jeden der
beiden in unserm Zeichen einander durchsetzenden Bögen nur fortgesetzt
zu denken, sei es in’s Unbegrenzte, sei es — noch besser — so, dass sie
etwa je zu einem Ovale sich zusammenschliessen, so wird man die Kon-
turen der Gebiete A und B vollständig in dem Zeichen erblicken, und

Schröder, Algebra der Logik. II. 7
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[97/0121] § 34. Elementar- und Grundbeziehungen, anschaulich eingeführt. musste, um die identische Multiplikation A · B zu einer allgemein an- wendbaren oder unbedingt ausführbaren Operation zu machen. Wir sind nämlich bereits verpflichtet, die Gleichung 0 = 0 als richtig anzuerkennen, das Beziehungszeichen der Gleichheit also als ein auch anwendbares gelten zu lassen, mit auszudehnen auf den Fall, wo eines der beiden verglichenen Gebiete und dann also auch das andre in 0 ausartet, degenerirt. Da für A = B = 0 auch A B = 0 ist, so gehört dieser Fall aber gar nicht zu a1 (und folglich auch nicht zu a100 oder δ), sondern zu a. Ebenso finden wir für die Zulassung des Falles A = 0 bei f und des Falles B = 0 bei e Bestimmungsgründe vor. Beim Studium der Subsumtion kamen wir ja dazu, auch die Pro- positionen 0  B, A  0 aufzustellen — cf. Def. (2×) — und sollte eine solche Subsumtion 0  B nach § 1 uns ausdrücken, dass entweder 0 = B oder aber 0 ⊂ B sei. Sooft nun also nicht gerade B = 0, das heisst, sooft B ≠ 0 ist, müssen wir auch: 0 ⊂ B, entsprechend desgleichen A ⊃ 0 für ein von 0 verschiedenes A, stets gelten lassen. In diesen beiden Fällen ist nun aber wiederum A B [ = 0 · B resp. A · 0] = 0, sodass sie unter a, nicht aber unter a1 und γ, resp. β, fallen. Die Zeichen =, ⊂ , ⊃ wurden schon in § 1 beschrieben, motivirt und gerechtfertigt. Das Zeichen  , in dessen Wahl ich mit Wundt zu- sammentreffe, spricht für sich selbst, insofern es erstens zunächst nicht un- geeignet erscheint, vor allem nämlich gebührend symmetrisch ist — nicht nur, was minder wichtig, in Bezug auf oben und unten, wo die Symmetrie angezeigt erscheint in Ermangelung jeden Grundes, es nach diesen Rich- tungen verschieden zu gestalten — sondern auch, was erheblicher, in Be- zug auf links und rechts, wie es denn auch eine symmetrische Beziehung zwischen den durch dasselbe als linke und rechte Seite zu verknüpfenden Ausdrücken darzustellen hat: sooft A  B, wird auch B  A sich als gültig erweisen, sodass man die Propositionen dieser Art nun ohne weiteres, wird rückwärts lesen können. Zweitens aber empfiehlt sich jenes Zeichen als das allergeeignetste dadurch, dass es die wirkliche, zwischen den Gebieten A und B bestehende Beziehung in sich abbildet, den wesentlichen Teil der Figur 16 kopirt: man braucht die divergirenden Äste eines jeden der beiden in unserm Zeichen einander durchsetzenden Bögen nur fortgesetzt zu denken, sei es in’s Unbegrenzte, sei es — noch besser — so, dass sie etwa je zu einem Ovale sich zusammenschliessen, so wird man die Kon- turen der Gebiete A und B vollständig in dem Zeichen erblicken, und Schröder, Algebra der Logik. II. 7

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 97. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/121>, abgerufen am 27.04.2024.