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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Sechzehnte Vorlesung.

Als eine Nutzanwendung und Übungsaufgabe zu der in diesem
Paragraph gelehrten Methode wollen wir die Fragen beantworten:

x) Wie differiren die vier Aussagen x1, x2, x3, x4, wenn bedeutet:

x1 die Aussage: (a = b) (c = d), die also resultirt, wenn man die
Gleichung a = b mit der Gleichung c = d (schlechtweg) multiplizirt,
x2 die Aussage: a (c = d) = b (c = d), die sich dadurch ergibt, dass man die
Gleichung a = b beiderseits multiplizirt mit der Gleichung c = d, x3 die
Aussage: (a = b) c = (a = b) d, welche entspringt durch beiderseitiges
Multipliziren der Gleichung c = d mit der a = b, endlich x4 die Aus-
sage: a c = b d, die sich durch überschiebendes Multipliziren der beiden
Gleichungen a = b und c = d ergeben wird.

Vergl. § 10, unterhalb Th. 19), also Bd. 1, S. 268 sq.

Auflösung. Man hat: x1 = (a b + a1 b1) (c d + c1 d1),
x2 = x1 + (c d1 + c1 d), x3 = x1 + (a b1 + a1 b),
x4 = x1 + {(a + d) b1 c1 + a1 d1 (b + c)}
als "reduzirte" Summen. [Unreduzirt würden die drei letztern den ein-
fachern Ausdruck haben: x4 = a b c d + (a1 + c1) (b1 + d1),
x2 = a b + a1 b1 + c d1 + c1 d, x3 = a b1 + a1 b + c d + c1 d1]
Hienach ist ersichtlich, dass alle vier Aussagen im allgemeinen ver-
schieden sind, und darum die l. c. eingeführten vorstehend kursiv ge-
druckten Benennungen (Adverbien für die Art und Weise des Multi-
plizirens) zur Unterscheidung notwendig. Ferner ist ersichtlich:
x1 x2, x1 x3, x1 x4 · Die oben angegebenen bei den Sym-
bolen rechterhand zu x1 noch hinzutretenden Glieder stellen das "Ge-
wicht" dieser drei Folgerungen (von x2 aus x1, etc.) vor. Ausser dann,
wann x1 gilt, wird z. B. x2 ausschliesslich nur dann noch gelten, wenn
c oder aber d gilt. Etc.

Zwischen irgend zweien der drei Aussagen x2, x3, x4 besteht da-
gegen kein Zusammenhang, wonach allgemein die eine aus der andern
folgen müsste, überhaupt keine (von den Bedeutungen der Aussagen
a, b, c, d) unabhängige Beziehung, wie die Elimination von a, b, c, d
aus den beiden zugehörigen Gleichungen zeigen würde, indem sie auf
0 = 0 führte.

o) Wie differiren ebenso die vier Aussagen:
y1 = (a b) (c d),
y2 = {a (c d) b (c d)}, y3 = {(a b) c (a b) d},
y4 = (a c b d)?

Sechzehnte Vorlesung.

Als eine Nutzanwendung und Übungsaufgabe zu der in diesem
Paragraph gelehrten Methode wollen wir die Fragen beantworten:

ξ) Wie differiren die vier Aussagen x1, x2, x3, x4, wenn bedeutet:

x1 die Aussage: (a = b) (c = d), die also resultirt, wenn man die
Gleichung a = b mit der Gleichung c = d (schlechtweg) multiplizirt,
x2 die Aussage: a (c = d) = b (c = d), die sich dadurch ergibt, dass man die
Gleichung a = b beiderseits multiplizirt mit der Gleichung c = d, x3 die
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Multipliziren der Gleichung c = d mit der a = b, endlich x4 die Aus-
sage: a c = b d, die sich durch überschiebendes Multipliziren der beiden
Gleichungen a = b und c = d ergeben wird.

Vergl. § 10, unterhalb Th. 19), also Bd. 1, S. 268 sq.

Auflösung. Man hat: x1 = (a b + a1 b1) (c d + c1 d1),
x2 = x1 + (c d1 + c1 d), x3 = x1 + (a b1 + a1 b),
x4 = x1 + {(a + d) b1 c1 + a1 d1 (b + c)}
als „reduzirte“ Summen. [Unreduzirt würden die drei letztern den ein-
fachern Ausdruck haben: x4 = a b c d + (a1 + c1) (b1 + d1),
x2 = a b + a1 b1 + c d1 + c1 d, x3 = a b1 + a1 b + c d + c1 d1]
Hienach ist ersichtlich, dass alle vier Aussagen im allgemeinen ver-
schieden sind, und darum die l. c. eingeführten vorstehend kursiv ge-
druckten Benennungen (Adverbien für die Art und Weise des Multi-
plizirens) zur Unterscheidung notwendig. Ferner ist ersichtlich:
x1 ⊆ x2, x1 ⊆ x3, x1 ⊆ x4 · Die oben angegebenen bei den Sym-
bolen rechterhand zu x1 noch hinzutretenden Glieder stellen das „Ge-
wicht“ dieser drei Folgerungen (von x2 aus x1, etc.) vor. Ausser dann,
wann x1 gilt, wird z. B. x2 ausschliesslich nur dann noch gelten, wenn
c oder aber d gilt. Etc.

Zwischen irgend zweien der drei Aussagen x2, x3, x4 besteht da-
gegen kein Zusammenhang, wonach allgemein die eine aus der andern
folgen müsste, überhaupt keine (von den Bedeutungen der Aussagen
a, b, c, d) unabhängige Beziehung, wie die Elimination von a, b, c, d
aus den beiden zugehörigen Gleichungen zeigen würde, indem sie auf
0 = 0 führte.

ο) Wie differiren ebenso die vier Aussagen:
y1 = (a ⊆ b) (c ⊆ d),
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[80/0104] Sechzehnte Vorlesung. Als eine Nutzanwendung und Übungsaufgabe zu der in diesem Paragraph gelehrten Methode wollen wir die Fragen beantworten: ξ) Wie differiren die vier Aussagen x1, x2, x3, x4, wenn bedeutet: x1 die Aussage: (a = b) (c = d), die also resultirt, wenn man die Gleichung a = b mit der Gleichung c = d (schlechtweg) multiplizirt, x2 die Aussage: a (c = d) = b (c = d), die sich dadurch ergibt, dass man die Gleichung a = b beiderseits multiplizirt mit der Gleichung c = d, x3 die Aussage: (a = b) c = (a = b) d, welche entspringt durch beiderseitiges Multipliziren der Gleichung c = d mit der a = b, endlich x4 die Aus- sage: a c = b d, die sich durch überschiebendes Multipliziren der beiden Gleichungen a = b und c = d ergeben wird. Vergl. § 10, unterhalb Th. 19), also Bd. 1, S. 268 sq. Auflösung. Man hat: x1 = (a b + a1 b1) (c d + c1 d1), x2 = x1 + (c d1 + c1 d), x3 = x1 + (a b1 + a1 b), x4 = x1 + {(a + d) b1 c1 + a1 d1 (b + c)} als „reduzirte“ Summen. [Unreduzirt würden die drei letztern den ein- fachern Ausdruck haben: x4 = a b c d + (a1 + c1) (b1 + d1), x2 = a b + a1 b1 + c d1 + c1 d, x3 = a b1 + a1 b + c d + c1 d1] Hienach ist ersichtlich, dass alle vier Aussagen im allgemeinen ver- schieden sind, und darum die l. c. eingeführten vorstehend kursiv ge- druckten Benennungen (Adverbien für die Art und Weise des Multi- plizirens) zur Unterscheidung notwendig. Ferner ist ersichtlich: x1  x2, x1  x3, x1  x4 · Die oben angegebenen bei den Sym- bolen rechterhand zu x1 noch hinzutretenden Glieder stellen das „Ge- wicht“ dieser drei Folgerungen (von x2 aus x1, etc.) vor. Ausser dann, wann x1 gilt, wird z. B. x2 ausschliesslich nur dann noch gelten, wenn c oder aber d gilt. Etc. Zwischen irgend zweien der drei Aussagen x2, x3, x4 besteht da- gegen kein Zusammenhang, wonach allgemein die eine aus der andern folgen müsste, überhaupt keine (von den Bedeutungen der Aussagen a, b, c, d) unabhängige Beziehung, wie die Elimination von a, b, c, d aus den beiden zugehörigen Gleichungen zeigen würde, indem sie auf 0 = 0 führte. ο) Wie differiren ebenso die vier Aussagen: y1 = (a  b) (c  d), y2 = {a (c  d)  b (c  d)}, y3 = {(a  b) c  (a  b) d}, y4 = (a c  b d)?

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 80. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/104>, abgerufen am 27.04.2024.