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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
(a b) [Formel 1] (x = a w1 + b w) =
= (a1 + b) [Formel 2] {x (a w1 + b w) + x1 (a1 w1 + b1 w)} = (a1 + b) (x a + x b + x1 a1 + x1 b1) =
gleich dem vorigen Ausdruck.

Zu Th. 48+) ist (a b u a + b) = (a1 + b1 + u) (u1 + a + b) =
= (a1 + b1) u1 + (a + b) u, aber auch: [Formel 3] (u = a x + b x1) =
= [Formel 4] {u (a x + b x1) + u1 (a1 x + b1 x1)} = u a + u b + u1 a1 + u1 b1. Etc.

Den Zusatz S. 34 betreffend hat man zu berücksichtigen, dass auch
[Formel 5] u v = 1, [Formel 6] u v1 = 1, [Formel 7] u1 v = 1, [Formel 8] u1 v1 = 1
sein wird, indem unter allen erdenklichen Produkten je zweier Gebiete auch
die vier Konstituenten der nach irgend zwei bestimmten entwickelten Eins
sich befinden. Darnach läuft die l. c. in § 29 angegebene Gleichung auf die
Identität a + b + c + d = a + b + c + d hinaus, von deren rechter Seite der
Term a b c d absorbirt worden. Dieser ergab sich aus [Formel 9] a b c d = a b c d [Formel 10] 1,
wo nun selbst
[Formel 11] 1 = 1
(nämlich = 1 + 1 + 1 + ...) nach dem Tautologiegesetze 14+) ist.

In Th. 50+) ist die linke Seite: (a x + b x1 = 0) = a1 x + b1 x1, die rechte
aber: (a b = 0) [Formel 12] (x = b u1 + a1 u) = (a1 + b1) [Formel 13] {x (b u1 + a1 u) + x1 (b1 u1 + a u)} =
= (a1 + b1) (x b + x a1 + x1 b1 + x1 a),
was ausmultiplizirt auf dasselbe hinausläuft. Ebenso würde mit dem Faktor
[Formel 14] (x = b + u a1) die Probe stimmen. Für sich jedoch, d. h. ohne den Aus-
sagenfaktor, die Voraussetzung (a b = 0) ist verschieden:
[Formel 15] (x = b u1 + a1 u) = (a1 b x a1 + b), [Formel 16] (x = b + a1 u) = (b x b + a1)
konform mit dem Th. 48+).

Endlich haben wir zu den Theoremen 51):
(a b) [Formel 17] (x = a + u b1) = (a1 + b) [Formel 18] {x (a + u b1) + x1 a1 (u1 + b)} =
= (a1 + b) {x (a + b1) + x1 a1} = x (a b + a1 b1) + x1 a1 = (b x = a),
(b a) [Formel 19] {x = a (b1 + u)} = (b1 + a) [Formel 20] {x a (b1 + u) + x1 (a1 + b u1)} =
= (a + b1) {x a + x1 (a1 + b)} = x a + x1 (a b + a1 b1) = (b + x = a). --

Sonach bewahrheiten sich also wieder alle unsre Sätze und er-
weist sich die Theorie als eine durch und durch in sich gefestigte.

§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
(a ⊆ b) [Formel 1] (x = a w1 + b w) =
= (a1 + b) [Formel 2] {x (a w1 + b w) + x1 (a1 w1 + b1 w)} = (a1 + b) (x a + x b + x1 a1 + x1 b1) =
gleich dem vorigen Ausdruck.

Zu Th. 48+) ist (a b ⊆ u ⊆ a + b) = (a1 + b1 + u) (u1 + a + b) =
= (a1 + b1) u1 + (a + b) u, aber auch: [Formel 3] (u = a x + b x1) =
= [Formel 4] {u (a x + b x1) + u1 (a1 x + b1 x1)} = u a + u b + u1 a1 + u1 b1. Etc.

Den Zusatz S. 34 betreffend hat man zu berücksichtigen, dass auch
[Formel 5] u v = 1, [Formel 6] u v1 = 1, [Formel 7] u1 v = 1, [Formel 8] u1 v1 = 1
sein wird, indem unter allen erdenklichen Produkten je zweier Gebiete auch
die vier Konstituenten der nach irgend zwei bestimmten entwickelten Eins
sich befinden. Darnach läuft die l. c. in § 29 angegebene Gleichung auf die
Identität a + b + c + d = a + b + c + d hinaus, von deren rechter Seite der
Term a b c d absorbirt worden. Dieser ergab sich aus [Formel 9] a b c d = a b c d [Formel 10] 1,
wo nun selbst
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(nämlich = 1 + 1 + 1 + …) nach dem Tautologiegesetze 14+) ist.

In Th. 50+) ist die linke Seite: (a x + b x1 = 0) = a1 x + b1 x1, die rechte
aber: (a b = 0) [Formel 12] (x = b u1 + a1 u) = (a1 + b1) [Formel 13] {x (b u1 + a1 u) + x1 (b1 u1 + a u)} =
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was ausmultiplizirt auf dasselbe hinausläuft. Ebenso würde mit dem Faktor
[Formel 14] (x = b + u a1) die Probe stimmen. Für sich jedoch, d. h. ohne den Aus-
sagenfaktor, die Voraussetzung (a b = 0) ist verschieden:
[Formel 15] (x = b u1 + a1 u) = (a1 b ⊆ x ⊆ a1 + b), [Formel 16] (x = b + a1 u) = (b ⊆ x ⊆ b + a1)
konform mit dem Th. 48+).

Endlich haben wir zu den Theoremen 51):
(a ⊆ b) [Formel 17] (x = a + u b1) = (a1 + b) [Formel 18] {x (a + u b1) + x1 a1 (u1 + b)} =
= (a1 + b) {x (a + b1) + x1 a1} = x (a b + a1 b1) + x1 a1 = (b x = a),
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= (a + b1) {x a + x1 (a1 + b)} = x a + x1 (a b + a1 b1) = (b + x = a). —

Sonach bewahrheiten sich also wieder alle unsre Sätze und er-
weist sich die Theorie als eine durch und durch in sich gefestigte.

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[79/0103] § 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen. (a  b) [FORMEL] (x = a w1 + b w) = = (a1 + b) [FORMEL] {x (a w1 + b w) + x1 (a1 w1 + b1 w)} = (a1 + b) (x a + x b + x1 a1 + x1 b1) = gleich dem vorigen Ausdruck. Zu Th. 48+) ist (a b  u  a + b) = (a1 + b1 + u) (u1 + a + b) = = (a1 + b1) u1 + (a + b) u, aber auch: [FORMEL] (u = a x + b x1) = = [FORMEL] {u (a x + b x1) + u1 (a1 x + b1 x1)} = u a + u b + u1 a1 + u1 b1. Etc. Den Zusatz S. 34 betreffend hat man zu berücksichtigen, dass auch [FORMEL] u v = 1, [FORMEL] u v1 = 1, [FORMEL] u1 v = 1, [FORMEL] u1 v1 = 1 sein wird, indem unter allen erdenklichen Produkten je zweier Gebiete auch die vier Konstituenten der nach irgend zwei bestimmten entwickelten Eins sich befinden. Darnach läuft die l. c. in § 29 angegebene Gleichung auf die Identität a + b + c + d = a + b + c + d hinaus, von deren rechter Seite der Term a b c d absorbirt worden. Dieser ergab sich aus [FORMEL] a b c d = a b c d [FORMEL] 1, wo nun selbst [FORMEL] 1 = 1 (nämlich = 1 + 1 + 1 + …) nach dem Tautologiegesetze 14+) ist. In Th. 50+) ist die linke Seite: (a x + b x1 = 0) = a1 x + b1 x1, die rechte aber: (a b = 0) [FORMEL] (x = b u1 + a1 u) = (a1 + b1) [FORMEL] {x (b u1 + a1 u) + x1 (b1 u1 + a u)} = = (a1 + b1) (x b + x a1 + x1 b1 + x1 a), was ausmultiplizirt auf dasselbe hinausläuft. Ebenso würde mit dem Faktor [FORMEL] (x = b + u a1) die Probe stimmen. Für sich jedoch, d. h. ohne den Aus- sagenfaktor, die Voraussetzung (a b = 0) ist verschieden: [FORMEL] (x = b u1 + a1 u) = (a1 b  x  a1 + b), [FORMEL] (x = b + a1 u) = (b  x  b + a1) konform mit dem Th. 48+). Endlich haben wir zu den Theoremen 51): (a  b) [FORMEL] (x = a + u b1) = (a1 + b) [FORMEL] {x (a + u b1) + x1 a1 (u1 + b)} = = (a1 + b) {x (a + b1) + x1 a1} = x (a b + a1 b1) + x1 a1 = (b x = a), (b  a) [FORMEL] {x = a (b1 + u)} = (b1 + a) [FORMEL] {x a (b1 + u) + x1 (a1 + b u1)} = = (a + b1) {x a + x1 (a1 + b)} = x a + x1 (a b + a1 b1) = (b + x = a). — Sonach bewahrheiten sich also wieder alle unsre Sätze und er- weist sich die Theorie als eine durch und durch in sich gefestigte.

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 79. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/103>, abgerufen am 28.04.2024.