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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 32. Gewicht von Aussagen.

Auflösung:
y1 = (a1 + b) (c1 + d)
y2 = a1 + b + c d1 = y1 + c d1, y3 = a b1 + c1 + d = y1 + a b1,
y4 = a1 + c1 + b d = y1 + (a b1 c1 + a1 c d1)
was ähnliche Bemerkungen liefert. Nebenbei erkennt man leicht auch
noch, dass:
y2 = {(c d) (a b)}, y3 = {a b) (c d)}
ist.

p) Zum Dritten wollen wir noch einmal zu den Studien des § 6 zurück-
kehren, die uns die Theoreme 7) bis 11) geliefert haben. Des Gebiets-
dualismus halber genügt es, diejenigen links vom Mittelstriche zu betrachten
und sollen die rechts höchstens als Ergebnisse mit berücksichtigt werden.

Man fasse unter den Chiffren die wir citiren, jeweils die Formeln des
§ 30 in's Auge, worin die kleinen Buchstaben wieder Gebiete vorstellen
mögen. (S. 29 sq.)

Def. (3x) gab in einfachst denkbarer Form die Erklärung des Produkts
a b zweier Gebiete als eines Prädikates: (c a b) = (c a) (c b).

Als Subjekt dagegen konnte a b nicht einfacher als mittelst Th. 9x) =
Def. (5x) erklärt werden, welches sich auf Grund des Th. 8x) unmittelbar
aus Def. (3x) ergibt, indem man nach letzterer die Bedeutung von (x a b)
in das Th. 8x) substituirt.

Analog zu dieser Def. (5x) für a b als Subjekt war aber behufs Er-
klärung von a b als Prädikat auch noch eine Erklärungsweise, komplizirter
als Def. (3x), zulässig, welche als Def. (4x) in dem Th. 7x) ausgesprochen ist.

Zog man das zu 8x) analoge Th. 10x) hinzu, so konnte auf diese
Definitionen (4x) und (5x) eine unbegrenzte Reihe von immer komplizirter
erscheinenden Erklärungsweisen für a b als Prädikat resp. Subjekt gegründet
werden, die paarweise als gleich komplizirte oder einander analoge zu-
sammengehören. Von den zwei Reihen so erhältlicher Definitionen, von
denen also Def. (4x) und Def. (5x) die "Anfangsglieder" vorstellen -- während
nur der ersteren von diesen wirklich noch ein Glied in Gestalt der Def. (3x)
vorangeht -- sollen nun wenigstens die beiden nächstfolgenden Glieder
noch in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls dargestellt werden. Sie
lauten bezüglich:
r) (c a b) = [Formel 1] { [Formel 2] [(y a) (y b) (y x)] (c x)},
s) (a b c) = [Formel 3] { [Formel 4] [(y x) (y a) (y b)] (x c)},
und ergeben sich leicht, indem man für (a b x) in das Th. 10x) diejenige
Erklärung substituirt, welche das Th. 9x) dafür geben würde, resp. analog
für (x a b) in das Th. 8x) einsetzt den Wert dieser Aussage gemäss
Th. 7x). Dabei war nur zu beachten, dass nachdem der Name x als Pro-
duktationsvariable in dem einen der beiden im Geiste zusammenzuhaltenden
Schemata bereits vergeben ist, in dem andern Schema für die Produktations-
variable ein neuer Name, wie y, gewählt werden muss.

Schröder, Algebra der Logik. II. 6
§ 32. Gewicht von Aussagen.

Auflösung:
y1 = (a1 + b) (c1 + d)
y2 = a1 + b + c d1 = y1 + c d1, y3 = a b1 + c1 + d = y1 + a b1,
y4 = a1 + c1 + b d = y1 + (a b1 c1 + a1 c d1)
was ähnliche Bemerkungen liefert. Nebenbei erkennt man leicht auch
noch, dass:
y2 = {(c ⊆ d) ⊆ (a ⊆ b)}, y3 = {a ⊆ b) ⊆ (c ⊆ d)}
ist.

π) Zum Dritten wollen wir noch einmal zu den Studien des § 6 zurück-
kehren, die uns die Theoreme 7) bis 11) geliefert haben. Des Gebiets-
dualismus halber genügt es, diejenigen links vom Mittelstriche zu betrachten
und sollen die rechts höchstens als Ergebnisse mit berücksichtigt werden.

Man fasse unter den Chiffren die wir citiren, jeweils die Formeln des
§ 30 in’s Auge, worin die kleinen Buchstaben wieder Gebiete vorstellen
mögen. (S. 29 sq.)

Def. (3×) gab in einfachst denkbarer Form die Erklärung des Produkts
a b zweier Gebiete als eines Prädikates: (c ⊆ a b) = (c ⊆ a) (c ⊆ b).

Als Subjekt dagegen konnte a b nicht einfacher als mittelst Th. 9×) =
Def. (5×) erklärt werden, welches sich auf Grund des Th. 8×) unmittelbar
aus Def. (3×) ergibt, indem man nach letzterer die Bedeutung von (x ⊆ a b)
in das Th. 8×) substituirt.

Analog zu dieser Def. (5×) für a b als Subjekt war aber behufs Er-
klärung von a b als Prädikat auch noch eine Erklärungsweise, komplizirter
als Def. (3×), zulässig, welche als Def. (4×) in dem Th. 7×) ausgesprochen ist.

Zog man das zu 8×) analoge Th. 10×) hinzu, so konnte auf diese
Definitionen (4×) und (5×) eine unbegrenzte Reihe von immer komplizirter
erscheinenden Erklärungsweisen für a b als Prädikat resp. Subjekt gegründet
werden, die paarweise als gleich komplizirte oder einander analoge zu-
sammengehören. Von den zwei Reihen so erhältlicher Definitionen, von
denen also Def. (4×) und Def. (5×) die „Anfangsglieder“ vorstellen — während
nur der ersteren von diesen wirklich noch ein Glied in Gestalt der Def. (3×)
vorangeht — sollen nun wenigstens die beiden nächstfolgenden Glieder
noch in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls dargestellt werden. Sie
lauten bezüglich:
ϱ) (c ⊆ a b) = [Formel 1] { [Formel 2] [(y ⊆ a) (y ⊆ b) ⊆ (y ⊆ x)] ⊆ (c ⊆ x)},
σ) (a b ⊆ c) = [Formel 3] { [Formel 4] [(y ⊆ x) ⊆ (y ⊆ a) (y ⊆ b)] ⊆ (x ⊆ c)},
und ergeben sich leicht, indem man für (a b ⊆ x) in das Th. 10×) diejenige
Erklärung substituirt, welche das Th. 9×) dafür geben würde, resp. analog
für (x ⊆ a b) in das Th. 8×) einsetzt den Wert dieser Aussage gemäss
Th. 7×). Dabei war nur zu beachten, dass nachdem der Name x als Pro-
duktationsvariable in dem einen der beiden im Geiste zusammenzuhaltenden
Schemata bereits vergeben ist, in dem andern Schema für die Produktations-
variable ein neuer Name, wie y, gewählt werden muss.

Schröder, Algebra der Logik. II. 6
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[81/0105] § 32. Gewicht von Aussagen. Auflösung: y1 = (a1 + b) (c1 + d) y2 = a1 + b + c d1 = y1 + c d1, y3 = a b1 + c1 + d = y1 + a b1, y4 = a1 + c1 + b d = y1 + (a b1 c1 + a1 c d1) was ähnliche Bemerkungen liefert. Nebenbei erkennt man leicht auch noch, dass: y2 = {(c  d)  (a  b)}, y3 = {a  b)  (c  d)} ist. π) Zum Dritten wollen wir noch einmal zu den Studien des § 6 zurück- kehren, die uns die Theoreme 7) bis 11) geliefert haben. Des Gebiets- dualismus halber genügt es, diejenigen links vom Mittelstriche zu betrachten und sollen die rechts höchstens als Ergebnisse mit berücksichtigt werden. Man fasse unter den Chiffren die wir citiren, jeweils die Formeln des § 30 in’s Auge, worin die kleinen Buchstaben wieder Gebiete vorstellen mögen. (S. 29 sq.) Def. (3×) gab in einfachst denkbarer Form die Erklärung des Produkts a b zweier Gebiete als eines Prädikates: (c  a b) = (c  a) (c  b). Als Subjekt dagegen konnte a b nicht einfacher als mittelst Th. 9×) = Def. (5×) erklärt werden, welches sich auf Grund des Th. 8×) unmittelbar aus Def. (3×) ergibt, indem man nach letzterer die Bedeutung von (x  a b) in das Th. 8×) substituirt. Analog zu dieser Def. (5×) für a b als Subjekt war aber behufs Er- klärung von a b als Prädikat auch noch eine Erklärungsweise, komplizirter als Def. (3×), zulässig, welche als Def. (4×) in dem Th. 7×) ausgesprochen ist. Zog man das zu 8×) analoge Th. 10×) hinzu, so konnte auf diese Definitionen (4×) und (5×) eine unbegrenzte Reihe von immer komplizirter erscheinenden Erklärungsweisen für a b als Prädikat resp. Subjekt gegründet werden, die paarweise als gleich komplizirte oder einander analoge zu- sammengehören. Von den zwei Reihen so erhältlicher Definitionen, von denen also Def. (4×) und Def. (5×) die „Anfangsglieder“ vorstellen — während nur der ersteren von diesen wirklich noch ein Glied in Gestalt der Def. (3×) vorangeht — sollen nun wenigstens die beiden nächstfolgenden Glieder noch in der Zeichensprache des Aussagenkalkuls dargestellt werden. Sie lauten bezüglich: ϱ) (c  a b) = [FORMEL] {[FORMEL] [(y  a) (y  b)  (y  x)]  (c  x)}, σ) (a b  c) = [FORMEL] {[FORMEL] [(y  x)  (y  a) (y  b)]  (x  c)}, und ergeben sich leicht, indem man für (a b  x) in das Th. 10×) diejenige Erklärung substituirt, welche das Th. 9×) dafür geben würde, resp. analog für (x  a b) in das Th. 8×) einsetzt den Wert dieser Aussage gemäss Th. 7×). Dabei war nur zu beachten, dass nachdem der Name x als Pro- duktationsvariable in dem einen der beiden im Geiste zusammenzuhaltenden Schemata bereits vergeben ist, in dem andern Schema für die Produktations- variable ein neuer Name, wie y, gewählt werden muss. Schröder, Algebra der Logik. II. 6

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 81. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/105>, abgerufen am 28.04.2024.