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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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Sechzehnte Vorlesung.
und zu 7+): [Formel 1] {(c x) (a x) (b x)} = [Formel 2] {c1 + x (a1 + x) (b1 + x)} =
= [Formel 3] (c x1 + a1 b1 + x) = [Formel 4] (a1 b1 + c + x) = a1 b1 + c, also = (a + b c).

Bei den nächsten Theoremen werde nur links vom Mittelstrich die
Rechnung durchgeführt, rechts dem Leser überlassen. Zu 8x):
[Formel 5] {(x a b) (x c)} = [Formel 6] (x1 + a b x1 + c) = [Formel 7] {x (a1 + b1) + x1 + c} =
= a1 + b1 + c, also = (a b c). Zu 9x):
[Formel 8] {(x a) (x b) (x c)} = [Formel 9] {(x1 + a) (x1 + b) x1 + c} =
= [Formel 10] {x (a1 + b1) + x1 + c)} = etc.

Zu 10x): [Formel 11] {(a b x) (c x)} = [Formel 12] (a1 + b1 + x c1 + x) =
= [Formel 13] (a b x1 + c1 + x) = c1 + a b, etc.

Zu 11x) [Formel 14] {(x c) = (x a) (x b)} = [Formel 15] {x1 + c = (x1 + a) (x1 + b)} =
= [Formel 16] {(x1 + c) (x1 + a) (x1 + b) + x c1 (x a1 + x b1)} = [Formel 17] {x1 + a b c + x c1 (a1 + b1)} =
= a b c + (a1 + b1) c1, also = (c = a b).

Zu Th. 43) ist: [Formel 18] (a = u b) = [Formel 19] {a · u b + a1 (u1 + b1)} =
= [Formel 20] (a1 b1 + a b u + a1 u1) = a1 b1 + a b + a1 = a1 + b, also = (a b),
desgl. [Formel 21] (b = a + v) = [Formel 22] {b (a + v) + b1 · a1 v1} = a b + b + a1 b1 = a1 + b.

Hierbei war zu berücksichtigen, dass nach dem auf eine unbegrenzte
Gliedermenge verallgemeinerten Distributionsgesetz 27x), wenn a gegen
u konstant ist:
[Formel 23] a f (u) = a [Formel 24] f (u)
sein muss, und ferner dass hier
[Formel 25] u = 1 sowie [Formel 26] u1 = 1
sein wird, indem in der Summe aller erdenklichen Glieder sicher sich
auch solche finden, welche als die Negationen von einander sich zu 1
ergänzen.

Zu Th. 47+) ist einerseits (a x b) = a1 x1 + b x, wie oben, und
andrerseits

Sechzehnte Vorlesung.
und zu 7+): [Formel 1] {(c ⊆ x) ⊆ (a ⊆ x) (b ⊆ x)} = [Formel 2] {c1 + x ⊆ (a1 + x) (b1 + x)} =
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Bei den nächsten Theoremen werde nur links vom Mittelstrich die
Rechnung durchgeführt, rechts dem Leser überlassen. Zu 8×):
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Hierbei war zu berücksichtigen, dass nach dem auf eine unbegrenzte
Gliedermenge verallgemeinerten Distributionsgesetz 27×), wenn a gegen
u konstant ist:
[Formel 23] a f (u) = a [Formel 24] f (u)
sein muss, und ferner dass hier
[Formel 25] u = 1 sowie [Formel 26] u1 = 1
sein wird, indem in der Summe aller erdenklichen Glieder sicher sich
auch solche finden, welche als die Negationen von einander sich zu 1
ergänzen.

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andrerseits

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[78/0102] Sechzehnte Vorlesung. und zu 7+): [FORMEL] {(c  x)  (a  x) (b  x)} = [FORMEL] {c1 + x  (a1 + x) (b1 + x)} = = [FORMEL] (c x1 + a1 b1 + x) = [FORMEL] (a1 b1 + c + x) = a1 b1 + c, also = (a + b  c). Bei den nächsten Theoremen werde nur links vom Mittelstrich die Rechnung durchgeführt, rechts dem Leser überlassen. Zu 8×): [FORMEL] {(x  a b)  (x  c)} = [FORMEL] (x1 + a b  x1 + c) = [FORMEL] {x (a1 + b1) + x1 + c} = = a1 + b1 + c, also = (a b  c). Zu 9×): [FORMEL] {(x  a) (x  b)  (x  c)} = [FORMEL] {(x1 + a) (x1 + b)  x1 + c} = = [FORMEL] {x (a1 + b1) + x1 + c)} = etc. Zu 10×): [FORMEL] {(a b  x)  (c  x)} = [FORMEL] (a1 + b1 + x  c1 + x) = = [FORMEL] (a b x1 + c1 + x) = c1 + a b, etc. Zu 11×) [FORMEL] {(x  c) = (x  a) (x  b)} = [FORMEL] {x1 + c = (x1 + a) (x1 + b)} = = [FORMEL] {(x1 + c) (x1 + a) (x1 + b) + x c1 (x a1 + x b1)} = [FORMEL] {x1 + a b c + x c1 (a1 + b1)} = = a b c + (a1 + b1) c1, also = (c = a b). Zu Th. 43) ist: [FORMEL] (a = u b) = [FORMEL] {a · u b + a1 (u1 + b1)} = = [FORMEL] (a1 b1 + a b u + a1 u1) = a1 b1 + a b + a1 = a1 + b, also = (a  b), desgl. [FORMEL] (b = a + v) = [FORMEL] {b (a + v) + b1 · a1 v1} = a b + b + a1 b1 = a1 + b. Hierbei war zu berücksichtigen, dass nach dem auf eine unbegrenzte Gliedermenge verallgemeinerten Distributionsgesetz 27×), wenn a gegen u konstant ist: [FORMEL] a f (u) = a [FORMEL] f (u) sein muss, und ferner dass hier [FORMEL] u = 1 sowie [FORMEL] u1 = 1 sein wird, indem in der Summe aller erdenklichen Glieder sicher sich auch solche finden, welche als die Negationen von einander sich zu 1 ergänzen. Zu Th. 47+) ist einerseits (a  x  b) = a1 x1 + b x, wie oben, und andrerseits

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 78. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/102>, abgerufen am 28.04.2024.