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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891.

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§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
hieran würde auch ein noch ferner hinzugesetzter Faktor (b a1), das ist
b1 + a1, nichts ändern.

Endlich bei den Zusätzen zu Th. 51) im § 29 wird
[Formel 1]

Prüfen wir nunmehr auch diejenigen Formeln des § 29, in welchen
Produkt- und Summenzeichen vorkommen.

Zu Def. (2x) haben wir:
A = [Formel 2] (x a) = [Formel 3] (x1 + a) = x1 und B = (x = 0) = x1,
was übereinstimmt, ebenso zu Def. (2+):
[Formel 4] (a x) = [Formel 5] (a1 + x) = x und (x = 1) = x.

Dass nämlich [Formel 6] (x1 + a) = x1 ist, ergibt sich folgendermassen.
Nach dem auf unbegrenzt viele Faktoren ausgedehnten Theorem 27+)
muss sein:
[Formel 7] (b + a) = b + [Formel 8] a, ebenso [Formel 9] (b + a1) = b + [Formel 10] a1
und noch allgemeiner, wenn nur wieder b ein von a unabhängiges, be-
züglich des a konstantes Gebiet vorstellt:
[Formel 11] {b + f (a)} = b + [Formel 12] f (a).

Im oben vorliegenden Falle kommt dann noch in Betracht, dass
[Formel 13] a = 0 desgleichen [Formel 14] a1 = 0
sein muss, in Anbetracht, dass unter allen möglichen Faktoren a (resp. a1)
deren Produkt zu bilden ist, sich gewiss auch disjunkte finden, z. B.
ein bestimmtes Gebiet a und daneben auch dessen Negation a1, wonach
also das Th. 22x) in Kraft tritt.

Zu Th. 7x) haben wir:

[Formel 15] {(x c) (x a) (x b)} = [Formel 16] {x1 + c (x1 + a) (x1 + b)} =
= [Formel 17] {x c1 + x1 + a b} = [Formel 18] (c1 + a b + x1) = c1 + a b, also = (c a b),

§ 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen.
hieran würde auch ein noch ferner hinzugesetzter Faktor (b ⊆ a1), das ist
b1 + a1, nichts ändern.

Endlich bei den Zusätzen zu Th. 51) im § 29 wird
[Formel 1]

Prüfen wir nunmehr auch diejenigen Formeln des § 29, in welchen
Produkt- und Summenzeichen vorkommen.

Zu Def. (2×) haben wir:
A = [Formel 2] (x ⊆ a) = [Formel 3] (x1 + a) = x1 und B = (x = 0) = x1,
was übereinstimmt, ebenso zu Def. (2+):
[Formel 4] (a ⊆ x) = [Formel 5] (a1 + x) = x und (x = 1) = x.

Dass nämlich [Formel 6] (x1 + a) = x1 ist, ergibt sich folgendermassen.
Nach dem auf unbegrenzt viele Faktoren ausgedehnten Theorem 27+)
muss sein:
[Formel 7] (b + a) = b + [Formel 8] a, ebenso [Formel 9] (b + a1) = b + [Formel 10] a1
und noch allgemeiner, wenn nur wieder b ein von a unabhängiges, be-
züglich des a konstantes Gebiet vorstellt:
[Formel 11] {b + f (a)} = b + [Formel 12] f (a).

Im oben vorliegenden Falle kommt dann noch in Betracht, dass
[Formel 13] a = 0 desgleichen [Formel 14] a1 = 0
sein muss, in Anbetracht, dass unter allen möglichen Faktoren a (resp. a1)
deren Produkt zu bilden ist, sich gewiss auch disjunkte finden, z. B.
ein bestimmtes Gebiet a und daneben auch dessen Negation a1, wonach
also das Th. 22×) in Kraft tritt.

Zu Th. 7×) haben wir:

[Formel 15] {(x ⊆ c) ⊆ (x ⊆ a) (x ⊆ b)} = [Formel 16] {x1 + c ⊆ (x1 + a) (x1 + b)} =
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[77/0101] § 32. Direkte Verifikation der Sätze des Aussagenkalkuls durch diesen. hieran würde auch ein noch ferner hinzugesetzter Faktor (b  a1), das ist b1 + a1, nichts ändern. Endlich bei den Zusätzen zu Th. 51) im § 29 wird [FORMEL] Prüfen wir nunmehr auch diejenigen Formeln des § 29, in welchen Produkt- und Summenzeichen vorkommen. Zu Def. (2×) haben wir: A = [FORMEL] (x  a) = [FORMEL] (x1 + a) = x1 und B = (x = 0) = x1, was übereinstimmt, ebenso zu Def. (2+): [FORMEL] (a  x) = [FORMEL] (a1 + x) = x und (x = 1) = x. Dass nämlich [FORMEL] (x1 + a) = x1 ist, ergibt sich folgendermassen. Nach dem auf unbegrenzt viele Faktoren ausgedehnten Theorem 27+) muss sein: [FORMEL] (b + a) = b + [FORMEL] a, ebenso [FORMEL] (b + a1) = b + [FORMEL] a1 und noch allgemeiner, wenn nur wieder b ein von a unabhängiges, be- züglich des a konstantes Gebiet vorstellt: [FORMEL] {b + f (a)} = b + [FORMEL] f (a). Im oben vorliegenden Falle kommt dann noch in Betracht, dass [FORMEL] a = 0 desgleichen [FORMEL] a1 = 0 sein muss, in Anbetracht, dass unter allen möglichen Faktoren a (resp. a1) deren Produkt zu bilden ist, sich gewiss auch disjunkte finden, z. B. ein bestimmtes Gebiet a und daneben auch dessen Negation a1, wonach also das Th. 22×) in Kraft tritt. Zu Th. 7×) haben wir: [FORMEL] {(x  c)  (x  a) (x  b)} = [FORMEL] {x1 + c  (x1 + a) (x1 + b)} = = [FORMEL] {x c1 + x1 + a b} = [FORMEL] (c1 + a b + x1) = c1 + a b, also = (c  a b),

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 2, Abt. 1. Leipzig, 1891, S. 77. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik0201_1891/101>, abgerufen am 28.04.2024.