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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Geometrisch-kombinatorisches Problem von Jevons.

Zwölften Typus mit den 24 Repräsentanten:
3128, 1247, 2435, 4316, 6574, 5782, 7861, 8653,
2158, 1564, 5623, 6217, 7346, 3485, 4871, 8732,
5138, 1376, 3752, 7514, 4267, 2683, 6841, 8425.

Hiermit sind die Fälle abgethan, bei denen eine erwählte Ecke zwei
andern erwählten benachbart ist, also drei von den vier zu erwählenden
Ecken in der Lage wie beim sechsten Typus zu einander stehen; denn
das von diesen dreien gebildete Knie könnte man immer für 213 im
obigen Räsonnement eintreten lassen, welches in allen seinen möglichen
Kombinationen bereits aufgeführt worden. Sollen Wiederholungen vermieden
werden, so ist also fortan solcher Fall nicht mehr zuzulassen.

Bleibt der Unterfall zu erledigen, wo drei von den vier erwählten
Ecken in der Lage wie beim siebenten Typus sich zu einander befinden --
wie z. B. 127. In diesem Falle sind 3, 4, 5, 6 als zu 1 oder 2 benachbart
nach dem soeben gesagten zu verwerfen, und bleibt blos 8 als vierte zu-
lässige Ecke übrig. Die vier erwählten Punkte bilden jetzt die Ecken von
einem der rechteckigen Diagonalquerschnitte des Würfels, und haben wir den

Dreizehnten Typus mit den 6 Repräsentanten:
1278, 3456, 1368, 2457, 1548, 2637.

Bleibt als letzter noch der Unterfall zu erledigen, wo drei von den
vier auszuhebenden Ecken die Figur des achten Typus miteinander bilden.
Und zwar wird auch die vierte Ecke mit je zweien der drei erwähnten nur
diese Figur des achten Typus eingehen dürfen, weil andernfalles (wenn
nämlich eine Konfiguration des siebten oder sechsten Typus dabei mit
unterliefe) die Aushebungsweise schon im Bisherigen abgethan sein müsste.
Insbesondere dürfen sonach benachbarte Ecken jetzt überhaupt nicht mehr
vorkommen.

Gehen wir von der Aushebung der Ecken 235 aus, so sind 1, 4, 6
und 7 als einer (oder mehreren) von den drei erwählten Ecken benachbart,
zu verwerfen und bleibt nur mehr 8 als vierte zulässige Ecke übrig. Die
vier zu erwählenden Ecken sind jetzt durchweg von einander abliegende
und bilden das System der Ecken von einem der beiden regelmässigen
(dem Würfel einschreibbaren) Tetraeder. Wir haben somit als letzten
Typus dieser Aushebung den

Vierzehnten Typus mit den zwei Repräsentanten:
1476, 2358. --

Nunmehr auch die Fälle von 5, 6, 7 und 8 Aushebungen durchzu-
gehen ist nicht erforderlich, weil hierbei gerade die Ecken auszuheben sein
werden, die bei den ersten vier Aushebungen (diese in umgekehrter Reihen-
folge genommen) bezüglich zurückgelassen wurden. Die Typen von jenen
Aushebungen sind zu denen von diesen bezüglich komplementär. Insbesondere
werden (die) 8 Aushebungen liefern: das Element 1 der Gruppe G (a, b, c),

Geometrisch-kombinatorisches Problem von Jevons.

Zwölften Typus mit den 24 Repräsentanten:
3128, 1247, 2435, 4316, 6574, 5782, 7861, 8653,
2158, 1564, 5623, 6217, 7346, 3485, 4871, 8732,
5138, 1376, 3752, 7514, 4267, 2683, 6841, 8425.

Hiermit sind die Fälle abgethan, bei denen eine erwählte Ecke zwei
andern erwählten benachbart ist, also drei von den vier zu erwählenden
Ecken in der Lage wie beim sechsten Typus zu einander stehen; denn
das von diesen dreien gebildete Knie könnte man immer für 213 im
obigen Räsonnement eintreten lassen, welches in allen seinen möglichen
Kombinationen bereits aufgeführt worden. Sollen Wiederholungen vermieden
werden, so ist also fortan solcher Fall nicht mehr zuzulassen.

Bleibt der Unterfall zu erledigen, wo drei von den vier erwählten
Ecken in der Lage wie beim siebenten Typus sich zu einander befinden —
wie z. B. 127. In diesem Falle sind 3, 4, 5, 6 als zu 1 oder 2 benachbart
nach dem soeben gesagten zu verwerfen, und bleibt blos 8 als vierte zu-
lässige Ecke übrig. Die vier erwählten Punkte bilden jetzt die Ecken von
einem der rechteckigen Diagonalquerschnitte des Würfels, und haben wir den

Dreizehnten Typus mit den 6 Repräsentanten:
1278, 3456, 1368, 2457, 1548, 2637.

Bleibt als letzter noch der Unterfall zu erledigen, wo drei von den
vier auszuhebenden Ecken die Figur des achten Typus miteinander bilden.
Und zwar wird auch die vierte Ecke mit je zweien der drei erwähnten nur
diese Figur des achten Typus eingehen dürfen, weil andernfalles (wenn
nämlich eine Konfiguration des siebten oder sechsten Typus dabei mit
unterliefe) die Aushebungsweise schon im Bisherigen abgethan sein müsste.
Insbesondere dürfen sonach benachbarte Ecken jetzt überhaupt nicht mehr
vorkommen.

Gehen wir von der Aushebung der Ecken 235 aus, so sind 1, 4, 6
und 7 als einer (oder mehreren) von den drei erwählten Ecken benachbart,
zu verwerfen und bleibt nur mehr 8 als vierte zulässige Ecke übrig. Die
vier zu erwählenden Ecken sind jetzt durchweg von einander abliegende
und bilden das System der Ecken von einem der beiden regelmässigen
(dem Würfel einschreibbaren) Tetraeder. Wir haben somit als letzten
Typus dieser Aushebung den

Vierzehnten Typus mit den zwei Repräsentanten:
1476, 2358. —

Nunmehr auch die Fälle von 5, 6, 7 und 8 Aushebungen durchzu-
gehen ist nicht erforderlich, weil hierbei gerade die Ecken auszuheben sein
werden, die bei den ersten vier Aushebungen (diese in umgekehrter Reihen-
folge genommen) bezüglich zurückgelassen wurden. Die Typen von jenen
Aushebungen sind zu denen von diesen bezüglich komplementär. Insbesondere
werden (die) 8 Aushebungen liefern: das Element 1 der Gruppe G (a, b, c),

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[669/0689] Geometrisch-kombinatorisches Problem von Jevons. Zwölften Typus mit den 24 Repräsentanten: 3128, 1247, 2435, 4316, 6574, 5782, 7861, 8653, 2158, 1564, 5623, 6217, 7346, 3485, 4871, 8732, 5138, 1376, 3752, 7514, 4267, 2683, 6841, 8425. Hiermit sind die Fälle abgethan, bei denen eine erwählte Ecke zwei andern erwählten benachbart ist, also drei von den vier zu erwählenden Ecken in der Lage wie beim sechsten Typus zu einander stehen; denn das von diesen dreien gebildete Knie könnte man immer für 213 im obigen Räsonnement eintreten lassen, welches in allen seinen möglichen Kombinationen bereits aufgeführt worden. Sollen Wiederholungen vermieden werden, so ist also fortan solcher Fall nicht mehr zuzulassen. Bleibt der Unterfall zu erledigen, wo drei von den vier erwählten Ecken in der Lage wie beim siebenten Typus sich zu einander befinden — wie z. B. 127. In diesem Falle sind 3, 4, 5, 6 als zu 1 oder 2 benachbart nach dem soeben gesagten zu verwerfen, und bleibt blos 8 als vierte zu- lässige Ecke übrig. Die vier erwählten Punkte bilden jetzt die Ecken von einem der rechteckigen Diagonalquerschnitte des Würfels, und haben wir den Dreizehnten Typus mit den 6 Repräsentanten: 1278, 3456, 1368, 2457, 1548, 2637. Bleibt als letzter noch der Unterfall zu erledigen, wo drei von den vier auszuhebenden Ecken die Figur des achten Typus miteinander bilden. Und zwar wird auch die vierte Ecke mit je zweien der drei erwähnten nur diese Figur des achten Typus eingehen dürfen, weil andernfalles (wenn nämlich eine Konfiguration des siebten oder sechsten Typus dabei mit unterliefe) die Aushebungsweise schon im Bisherigen abgethan sein müsste. Insbesondere dürfen sonach benachbarte Ecken jetzt überhaupt nicht mehr vorkommen. Gehen wir von der Aushebung der Ecken 235 aus, so sind 1, 4, 6 und 7 als einer (oder mehreren) von den drei erwählten Ecken benachbart, zu verwerfen und bleibt nur mehr 8 als vierte zulässige Ecke übrig. Die vier zu erwählenden Ecken sind jetzt durchweg von einander abliegende und bilden das System der Ecken von einem der beiden regelmässigen (dem Würfel einschreibbaren) Tetraeder. Wir haben somit als letzten Typus dieser Aushebung den Vierzehnten Typus mit den zwei Repräsentanten: 1476, 2358. — Nunmehr auch die Fälle von 5, 6, 7 und 8 Aushebungen durchzu- gehen ist nicht erforderlich, weil hierbei gerade die Ecken auszuheben sein werden, die bei den ersten vier Aushebungen (diese in umgekehrter Reihen- folge genommen) bezüglich zurückgelassen wurden. Die Typen von jenen Aushebungen sind zu denen von diesen bezüglich komplementär. Insbesondere werden (die) 8 Aushebungen liefern: das Element 1 der Gruppe G (a, b, c),

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 669. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/689>, abgerufen am 22.07.2024.