Da hiermit bei drei Aushebungen alle Möglichkeiten erschöpft wurden, so haben wir überzugehen zu dem Falle, wo vier Aushebungen gemacht werden. Es wird sich herausstellen, dass diese auf sechserlei Arten ge- schehen können.
Erster Unterfall: Drei von den vier auszuwählenden Ecken bilden die Figur des rechten Winkels (das Knie, wie 213 etc. beim sechsten Typus), sodass zwei von ihnen der von uns in die Mitte gesetzten dritten benachbart sind. Alsdann kann die vierte Ecke einer von diesen dreien benachbart sein, oder nicht.
Ist sie der bevorzugten oder mittleren Ecke benachbart, so erweist sie sich als vollkommen bestimmt. Weil nämlich von den drei derselben benachbarten Ecken schon zwei ausgehoben sind, muss sie die dritte sein. Die vier gewählten Ecken bestimmen dann ein Dreikant (einen Dreifuss); ihr System besteht aus einer Ecke des Würfels mitnebst den Endpunkten der drei in ihr zusammenstossenden Kanten. Dies ist der
Neunte Typus mit den 8 Repräsentanten: 1523, 2641, 3714, 4832, 5176, 6258, 7385, 8467.
Ist die vierte Ecke aber einer von den beiden andern benachbart, mit- hin bei 213 der 2 oder der 3, so kann sie entweder demselben durch die bisherigen drei Ecken bestimmten Seitenquadrate als dessen vierte Ecke angehören, oder, wenn diesem nicht, so sicher dem gegenüberliegenden. Im ersten Falle sind die gewählten vier Ecken diejenigen einer quadra- tischen Seitenfläche des Würfels; sie bestimmen dann auf vier Arten jene zweiteilig im rechten Winkel gebrochene Linie (ein Knie), sowie eine drei- teilig in Hufeisenform gebrochene Linie. Dies gibt den
Zehnten Typus mit den 6 Repräsentanten: 1243, 5786, 1562, 3487, 1375, 2684.
Im andern Falle muss die zu 213 hinzu zu wählende vierte Ecke ent- weder 6 oder 7 sein (weil 5, als der mittleren benachbart, schon unter dem neunten Typus berücksichtigt ist, und 8 zu keiner von den dreien benachbart). Die vier Ecken, wie 6213, bestimmen jetzt eine windschiefe dreiteilig gebrochene Linie (windschiefes Doppelknie) und haben wir den
Bleibt der Fall zu erledigen, wo die vierte Ecke keiner von den drei ein Knie 312 bildenden benachbart ist.
Als vierte werden dann also auszuschliessen sein die Ecken 4, 5, 6 und 7, sodass als einzig zulässige 8 geblieben. Die vier erwählten Ecken erscheinen als diejenigen an einem rechtwinkligen Knie in Verbindung mit der Gegenecke seines Scheitels und haben wir den
Anhang 6.
Da hiermit bei drei Aushebungen alle Möglichkeiten erschöpft wurden, so haben wir überzugehen zu dem Falle, wo vier Aushebungen gemacht werden. Es wird sich herausstellen, dass diese auf sechserlei Arten ge- schehen können.
Erster Unterfall: Drei von den vier auszuwählenden Ecken bilden die Figur des rechten Winkels (das Knie, wie 213 etc. beim sechsten Typus), sodass zwei von ihnen der von uns in die Mitte gesetzten dritten benachbart sind. Alsdann kann die vierte Ecke einer von diesen dreien benachbart sein, oder nicht.
Ist sie der bevorzugten oder mittleren Ecke benachbart, so erweist sie sich als vollkommen bestimmt. Weil nämlich von den drei derselben benachbarten Ecken schon zwei ausgehoben sind, muss sie die dritte sein. Die vier gewählten Ecken bestimmen dann ein Dreikant (einen Dreifuss); ihr System besteht aus einer Ecke des Würfels mitnebst den Endpunkten der drei in ihr zusammenstossenden Kanten. Dies ist der
Neunte Typus mit den 8 Repräsentanten: 1523, 2641, 3714, 4832, 5176, 6258, 7385, 8467.
Ist die vierte Ecke aber einer von den beiden andern benachbart, mit- hin bei 213 der 2 oder der 3, so kann sie entweder demselben durch die bisherigen drei Ecken bestimmten Seitenquadrate als dessen vierte Ecke angehören, oder, wenn diesem nicht, so sicher dem gegenüberliegenden. Im ersten Falle sind die gewählten vier Ecken diejenigen einer quadra- tischen Seitenfläche des Würfels; sie bestimmen dann auf vier Arten jene zweiteilig im rechten Winkel gebrochene Linie (ein Knie), sowie eine drei- teilig in Hufeisenform gebrochene Linie. Dies gibt den
Zehnten Typus mit den 6 Repräsentanten: 1243, 5786, 1562, 3487, 1375, 2684.
Im andern Falle muss die zu 213 hinzu zu wählende vierte Ecke ent- weder 6 oder 7 sein (weil 5, als der mittleren benachbart, schon unter dem neunten Typus berücksichtigt ist, und 8 zu keiner von den dreien benachbart). Die vier Ecken, wie 6213, bestimmen jetzt eine windschiefe dreiteilig gebrochene Linie (windschiefes Doppelknie) und haben wir den
Bleibt der Fall zu erledigen, wo die vierte Ecke keiner von den drei ein Knie 312 bildenden benachbart ist.
Als vierte werden dann also auszuschliessen sein die Ecken 4, 5, 6 und 7, sodass als einzig zulässige 8 geblieben. Die vier erwählten Ecken erscheinen als diejenigen an einem rechtwinkligen Knie in Verbindung mit der Gegenecke seines Scheitels und haben wir den
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Anhang 6.
Da hiermit bei drei Aushebungen alle Möglichkeiten erschöpft wurden,
so haben wir überzugehen zu dem Falle, wo vier Aushebungen gemacht
werden. Es wird sich herausstellen, dass diese auf sechserlei Arten ge-
schehen können.
Erster Unterfall: Drei von den vier auszuwählenden Ecken bilden die
Figur des rechten Winkels (das Knie, wie 213 etc. beim sechsten Typus),
sodass zwei von ihnen der von uns in die Mitte gesetzten dritten benachbart
sind. Alsdann kann die vierte Ecke einer von diesen dreien benachbart
sein, oder nicht.
Ist sie der bevorzugten oder mittleren Ecke benachbart, so erweist
sie sich als vollkommen bestimmt. Weil nämlich von den drei derselben
benachbarten Ecken schon zwei ausgehoben sind, muss sie die dritte sein.
Die vier gewählten Ecken bestimmen dann ein Dreikant (einen Dreifuss);
ihr System besteht aus einer Ecke des Würfels mitnebst den Endpunkten
der drei in ihr zusammenstossenden Kanten. Dies ist der
Neunte Typus mit den 8 Repräsentanten:
1523, 2641, 3714, 4832, 5176, 6258, 7385, 8467.
Ist die vierte Ecke aber einer von den beiden andern benachbart, mit-
hin bei 213 der 2 oder der 3, so kann sie entweder demselben durch die
bisherigen drei Ecken bestimmten Seitenquadrate als dessen vierte Ecke
angehören, oder, wenn diesem nicht, so sicher dem gegenüberliegenden.
Im ersten Falle sind die gewählten vier Ecken diejenigen einer quadra-
tischen Seitenfläche des Würfels; sie bestimmen dann auf vier Arten jene
zweiteilig im rechten Winkel gebrochene Linie (ein Knie), sowie eine drei-
teilig in Hufeisenform gebrochene Linie. Dies gibt den
Zehnten Typus mit den 6 Repräsentanten:
1243, 5786, 1562, 3487, 1375, 2684.
Im andern Falle muss die zu 213 hinzu zu wählende vierte Ecke ent-
weder 6 oder 7 sein (weil 5, als der mittleren benachbart, schon unter
dem neunten Typus berücksichtigt ist, und 8 zu keiner von den dreien
benachbart). Die vier Ecken, wie 6213, bestimmen jetzt eine windschiefe
dreiteilig gebrochene Linie (windschiefes Doppelknie) und haben wir den
Elften Typus mit den 24 Repräsentanten:
3126, 5124, 1348, 7342, 1568, 7562, 3786, 5784,
2137, 5134, 1248, 6243, 1578, 6573, 2687, 5684,
2157, 3156, 1268, 4265, 1378, 4375, 2487, 3486.
Bleibt der Fall zu erledigen, wo die vierte Ecke keiner von den drei
ein Knie 312 bildenden benachbart ist.
Als vierte werden dann also auszuschliessen sein die Ecken 4, 5, 6
und 7, sodass als einzig zulässige 8 geblieben. Die vier erwählten Ecken
erscheinen als diejenigen an einem rechtwinkligen Knie in Verbindung mit
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 668. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/688>, abgerufen am 23.11.2024.
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