reihe sein, und ebendarum muss auch die Summe dieser beiden wieder ein ihr selber angehöriges Element sein, wie zu zeigen gewesen.
Bei dem Beweise wurde augenscheinlich kein Gebrauch gemacht von der Annahme, dass zuvor der erste Prozess vollzogen sei, dass die Vervollständigung des Systems mittelst Einverleibung auch der Negationen seiner Elemente überhaupt stattgefunden habe. Wir müssen vielmehr allgemein den Satz haben:
Wenn ein System von Elementen so beschaffen ist, dass es durch multiplikative Verknüpfung zwischen seinen Elementen -- "Intermultipli- ziren" -- keine neuen Elemente mehr liefern kann, und man vervollstän- digt das System soweit, dass sich auch durch additive Verknüpfungen zwischen seinen Elementen -- "Interaddiren" -- keine neuen Elemente mehr ergeben können, so kann auch das so vervollständigte System beim Intermultipliziren keine neuen Elemente mehr liefern. M. a. W.:
Eine "Gruppe hinsichtlich Multiplikation", wenn vermehrt auch zu einer "Gruppe hinsichtlich Addition", bleibt dennoch Gruppe hinsichtlich der Multiplikation, wird also eine "Gruppe in Hinsicht beider Opera- tionen".
Des Dualismus halber liefert natürlich dieser Satz noch einen zweiten richtigen, wenn man die Worte "Multiplikation" und "Addi- tion" in ihm vertauscht.
Ich behaupte ferner, dass nachdem der erste Prozess vorausge- gangen, nun auch die Operation des Negirens aus keinem Element der Summenreihe ein neues mehr erzeugen kann.
Zunächst wird als a + b das zu negirende Element darzustellen sein, wo a und b der Produktenreihe angehören. Und wir haben: (a + b)1 = a1b1.
Der Beweis wäre erbracht, wenn etwa auch a1 und b1 der Pro- duktenreihe angehören müssten. Dies lässt sich aber keineswegs be- haupten. Nachweisbar ist gleichwol, dass a1b1 wenigstens der Summen- reihe angehören muss.
Als Element der Produktenreihe ist nämlich: a = g d und ebenso b = g' d', wo g, d, g', d' der "ersten" (abgeleiteten) Reihe als Elemente angehören. Da diese mittelst Negirens vervollständigt worden, so enthält sie not- wendig auch schon die Negationen g1, d1, g1', d1' ebendieser Elemente. Nun ist a1b1 = (g1 + d1) (g1' + d1') = g1g1' + g1d1' + g1' d1 + d1d1', wo die Glieder rechterhand notwendig der Produktenreihe, und dar-
Anhang 6.
reihe sein, und ebendarum muss auch die Summe dieser beiden wieder ein ihr selber angehöriges Element sein, wie zu zeigen gewesen.
Bei dem Beweise wurde augenscheinlich kein Gebrauch gemacht von der Annahme, dass zuvor der erste Prozess vollzogen sei, dass die Vervollständigung des Systems mittelst Einverleibung auch der Negationen seiner Elemente überhaupt stattgefunden habe. Wir müssen vielmehr allgemein den Satz haben:
Wenn ein System von Elementen so beschaffen ist, dass es durch multiplikative Verknüpfung zwischen seinen Elementen — „Intermultipli- ziren“ — keine neuen Elemente mehr liefern kann, und man vervollstän- digt das System soweit, dass sich auch durch additive Verknüpfungen zwischen seinen Elementen — „Interaddiren“ — keine neuen Elemente mehr ergeben können, so kann auch das so vervollständigte System beim Intermultipliziren keine neuen Elemente mehr liefern. M. a. W.:
Eine „Gruppe hinsichtlich Multiplikation“, wenn vermehrt auch zu einer „Gruppe hinsichtlich Addition“, bleibt dennoch Gruppe hinsichtlich der Multiplikation, wird also eine „Gruppe in Hinsicht beider Opera- tionen“.
Des Dualismus halber liefert natürlich dieser Satz noch einen zweiten richtigen, wenn man die Worte „Multiplikation“ und „Addi- tion“ in ihm vertauscht.
Ich behaupte ferner, dass nachdem der erste Prozess vorausge- gangen, nun auch die Operation des Negirens aus keinem Element der Summenreihe ein neues mehr erzeugen kann.
Zunächst wird als α + β das zu negirende Element darzustellen sein, wo α und β der Produktenreihe angehören. Und wir haben: (α + β)1 = α1β1.
Der Beweis wäre erbracht, wenn etwa auch α1 und β1 der Pro- duktenreihe angehören müssten. Dies lässt sich aber keineswegs be- haupten. Nachweisbar ist gleichwol, dass α1β1 wenigstens der Summen- reihe angehören muss.
Als Element der Produktenreihe ist nämlich: α = γ δ und ebenso β = γ' δ', wo γ, δ, γ', δ' der „ersten“ (abgeleiteten) Reihe als Elemente angehören. Da diese mittelst Negirens vervollständigt worden, so enthält sie not- wendig auch schon die Negationen γ1, δ1, γ1', δ1' ebendieser Elemente. Nun ist α1β1 = (γ1 + δ1) (γ1' + δ1') = γ1γ1' + γ1δ1' + γ1' δ1 + δ1δ1', wo die Glieder rechterhand notwendig der Produktenreihe, und dar-
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Anhang 6.
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ein ihr selber angehöriges Element sein, wie zu zeigen gewesen.
Bei dem Beweise wurde augenscheinlich kein Gebrauch gemacht
von der Annahme, dass zuvor der erste Prozess vollzogen sei, dass
die Vervollständigung des Systems mittelst Einverleibung auch der
Negationen seiner Elemente überhaupt stattgefunden habe. Wir müssen
vielmehr allgemein den Satz haben:
Wenn ein System von Elementen so beschaffen ist, dass es durch
multiplikative Verknüpfung zwischen seinen Elementen — „Intermultipli-
ziren“ — keine neuen Elemente mehr liefern kann, und man vervollstän-
digt das System soweit, dass sich auch durch additive Verknüpfungen
zwischen seinen Elementen — „Interaddiren“ — keine neuen Elemente
mehr ergeben können, so kann auch das so vervollständigte System beim
Intermultipliziren keine neuen Elemente mehr liefern. M. a. W.:
Eine „Gruppe hinsichtlich Multiplikation“, wenn vermehrt auch zu
einer „Gruppe hinsichtlich Addition“, bleibt dennoch Gruppe hinsichtlich
der Multiplikation, wird also eine „Gruppe in Hinsicht beider Opera-
tionen“.
Des Dualismus halber liefert natürlich dieser Satz noch einen
zweiten richtigen, wenn man die Worte „Multiplikation“ und „Addi-
tion“ in ihm vertauscht.
Ich behaupte ferner, dass nachdem der erste Prozess vorausge-
gangen, nun auch die Operation des Negirens aus keinem Element der
Summenreihe ein neues mehr erzeugen kann.
Zunächst wird als α + β das zu negirende Element darzustellen
sein, wo α und β der Produktenreihe angehören. Und wir haben:
(α + β)1 = α1 β1.
Der Beweis wäre erbracht, wenn etwa auch α1 und β1 der Pro-
duktenreihe angehören müssten. Dies lässt sich aber keineswegs be-
haupten. Nachweisbar ist gleichwol, dass α1 β1 wenigstens der Summen-
reihe angehören muss.
Als Element der Produktenreihe ist nämlich:
α = γ δ und ebenso β = γ' δ',
wo γ, δ, γ', δ' der „ersten“ (abgeleiteten) Reihe als Elemente angehören.
Da diese mittelst Negirens vervollständigt worden, so enthält sie not-
wendig auch schon die Negationen γ1, δ1, γ1', δ1' ebendieser Elemente.
Nun ist
α1 β1 = (γ1 + δ1) (γ1' + δ1') = γ1 γ1' + γ1 δ1' + γ1' δ1 + δ1 δ1',
wo die Glieder rechterhand notwendig der Produktenreihe, und dar-
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 656. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/676>, abgerufen am 12.06.2024.
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