Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Zur Gruppentheorie des identischen Kalkuls.

suchte vollständige Gruppe ist, sind folgende Überlegungen anzu-
stellen.

Nachdem der Prozess des Multiplizirens benndigt ist kann selbst-
verständlich durch multiplikative Verknüpfung zweier Elemente kein
neues Element mehr gewonnen werden, auch nicht durch multiplika-
tives Verknüpfen beliebig vieler von den vorhandenen Elementen —
denn solches läuft bekanntlich auf das successive Verknüpfen von
immer nur zweien ebendieser Elemente hinaus, welches, wie wir wissen,
ein neues Element nie liefern konnte.

Ebenso, nachdem der Prozess des Addirens beendigt, kann addi-
tive Verknüpfung von zweien oder beliebig vielen der nun vorhandenen
Elemente kein neues Element mehr liefern.

Wir wollen die Reihe der nach diesem dritten Prozesse vorliegenden
Elemente kurz die „Summenreihe“ nennen, und ebenso das System der
Elemente soweit es nach Beendigung des zweiten Prozesses vorgelegen,
die „Produktenreihe“.

In der That kann jedes Element dieser Summenreihe angesehen werden
als die Summe α + β zweier Elemente α und β der Produktenreihe, indem
man, wenn es mit einem Element α dieser Produktenreihe selbst zusammen-
fallen sollte, sich nur die 0 unter β vorzustellen braucht.

Ebenso konnte jedes Element α der Produktenreihe angesehen werden
als das Produkt γδ zweier Elemente γ und δ der vorhergehenden (durch
den ersten oder Negationsprozess ergänzten) Reihe — sie möge kurz die
„erste“ Reihe heissen — (im Gegensatz zu dem ursprünglich gegebnen
Systeme von Bestimmungselementen als der „nullten“ Reihe). Denn wenn
das Element auch als ein γ zu diesem ursprünglichen System selbst ge-
hörte, so braucht man sich nur (unter α ebendieses γ und) unter δ die 1
vorzustellen.

Ich behaupte jetzt, dass auch die Multiplikation irgend zweier
(und darnach auch beliebig vieler) Elemente der Summenreihe kein
neues Element mehr liefern kann. Denn durch α + β wird sich das
eine, durch α' + β' das andere dieser Elemente darstellen lassen, wo α
und β sowie α' und β' der Produktenreihe angehören. Nun ist:
(α + β) (α' + β') = α α' + α β' + α' β + β β'.

Die vier Glieder rechterhand gehören aber unfehlbar selbst schon
der Produktenreihe an, denn diese enthält ja als Element bereits jedes
Produkt von zweien ihrer Elemente.

Die Summenreihe aber enthält jede Summe nicht nur von zweien,
sondern auch von beliebig vielen Elementen der Produktenreihe; sie
enthält nämlich auch als Element jede Summe von irgend zweien (und
beliebig vielen) ihrer eigenen Elemente. Im vorliegenden Falle müssen
z. B. auch α α' + α β', sowie α' β + β β' schon Elemente dieser Summen-