Sodann isolire man x vollends durch Hinüberwerfen des mit ihm ver- knüpften Operationsgliedes nach derselben Regel, wodurch entsteht: b b1xa1 + a, resp. b g1xa1 + g resp. c b1xc1 + a.
Hierdurch ist dann die Prämisse verwandelt in eine Doppelsubsum- tion mit dem Mittelgliede x und einem davon freien Subjekte sowol als Prädikate. Dieselbe ist m. a. W. für sich schon "aufgelöst" nach x; zugleich erscheint x eliminirt, sobald man es beim Lesen der Doppel- subsumtion gemäss Prinzip II überspringt. In der That wird beim allgemeinen Schema b b1a1 + a die Resultante der Elimination des x vorstellen.
Wenn von dem allgemeinen Schema einzelne Terme fehlten, so kann es sich ereignen, dass man statt einer Doppelsubsumtion nur eine einfache Subsumtion erhält von der Form dx oder aber xd. Diese ist jedoch leicht zu einer Doppelsubsumtion zu ergänzen in Gestalt von: dx 1 resp. 0 xd und ist ersichtlich, dass alsdann durch die Elimination des x aus der Einzelprämisse nur eine Identität: d 1 resp. 0 d resultiren würde, die bei Aufstellung der Gesamtresultante nicht weiter berücksichtigt zu werden braucht (weil 0 links Summand, 1 rechts Faktor würde -- wie sogleich zu sehen).
Um nunmehr das ganze System von Prämissen nach der Unbekannten x aufzulösen, nachdem die x enthaltenden sämtlich zu solchen Doppel- subsumtionen umgeformt sind, braucht man nur die Subjekte dieser letzteren additiv zu einem einzigen Subjekte, ihre Prädikate multiplikativ zu einem einzigen Prädikate von x zu vereinigen. Man wird dadurch eine Doppelsubsumtion mit dem Mittelgliede x und davon unabhängigen extremen Gliedern erhalten, welche nach Def. (3) äquivalent sein muss dem System jener Doppelsubsumtionen, welche also zusammen mit der Gruppe der x von vornherein nicht enthaltenden Prämissen das ur- sprüngliche Prämissensystem vollständig vertritt. Die volle Resultante der Elimination des x besteht aus dem System der Prämissen eben dieser letztern Gruppe in Verbindung mit der aus der "vereinigten" Doppelsubsumtion durch Überspringen des x gemäss Pr. II sich er- gebenden Resultante, welche die Summe der Subjekte des x einordnet dem Produkt seiner Prädikate. --
Um dies an dem klassischen Problem von Boole, 1 Aufg. des § 25, zu erläutern, so schreiben wir behufs Elimination von e die erste Prämisse in der Gestalt an:
[Formel 1]
, die zweite als: a d (b c1 + b1c) e,
Vierzehnte Vorlesung.
Sodann isolire man x vollends durch Hinüberwerfen des mit ihm ver- knüpften Operationsgliedes nach derselben Regel, wodurch entsteht: b β1 ⋹ x ⋹ a1 + α, resp. b γ1 ⋹ x ⋹ a1 + γ resp. c β1 ⋹ x ⋹ c1 + α.
Hierdurch ist dann die Prämisse verwandelt in eine Doppelsubsum- tion mit dem Mittelgliede x und einem davon freien Subjekte sowol als Prädikate. Dieselbe ist m. a. W. für sich schon „aufgelöst“ nach x; zugleich erscheint x eliminirt, sobald man es beim Lesen der Doppel- subsumtion gemäss Prinzip II überspringt. In der That wird beim allgemeinen Schema b β1 ⋹ a1 + α die Resultante der Elimination des x vorstellen.
Wenn von dem allgemeinen Schema einzelne Terme fehlten, so kann es sich ereignen, dass man statt einer Doppelsubsumtion nur eine einfache Subsumtion erhält von der Form d ⋹ x oder aber x ⋹ δ. Diese ist jedoch leicht zu einer Doppelsubsumtion zu ergänzen in Gestalt von: d ⋹ x ⋹ 1 resp. 0 ⋹ x ⋹ δ und ist ersichtlich, dass alsdann durch die Elimination des x aus der Einzelprämisse nur eine Identität: d ⋹ 1 resp. 0 ⋹ δ resultiren würde, die bei Aufstellung der Gesamtresultante nicht weiter berücksichtigt zu werden braucht (weil 0 links Summand, 1 rechts Faktor würde — wie sogleich zu sehen).
Um nunmehr das ganze System von Prämissen nach der Unbekannten x aufzulösen, nachdem die x enthaltenden sämtlich zu solchen Doppel- subsumtionen umgeformt sind, braucht man nur die Subjekte dieser letzteren additiv zu einem einzigen Subjekte, ihre Prädikate multiplikativ zu einem einzigen Prädikate von x zu vereinigen. Man wird dadurch eine Doppelsubsumtion mit dem Mittelgliede x und davon unabhängigen extremen Gliedern erhalten, welche nach Def. (3) äquivalent sein muss dem System jener Doppelsubsumtionen, welche also zusammen mit der Gruppe der x von vornherein nicht enthaltenden Prämissen das ur- sprüngliche Prämissensystem vollständig vertritt. Die volle Resultante der Elimination des x besteht aus dem System der Prämissen eben dieser letztern Gruppe in Verbindung mit der aus der „vereinigten“ Doppelsubsumtion durch Überspringen des x gemäss Pr. II sich er- gebenden Resultante, welche die Summe der Subjekte des x einordnet dem Produkt seiner Prädikate. —
Um dies an dem klassischen Problem von Boole, 1 Aufg. des § 25, zu erläutern, so schreiben wir behufs Elimination von e die erste Prämisse in der Gestalt an:
[Formel 1]
, die zweite als: a d (b c1 + b1c) ⋹ e,
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Vierzehnte Vorlesung.
Sodann isolire man x vollends durch Hinüberwerfen des mit ihm ver-
knüpften Operationsgliedes nach derselben Regel, wodurch entsteht:
b β1 ⋹ x ⋹ a1 + α, resp. b γ1 ⋹ x ⋹ a1 + γ resp. c β1 ⋹ x ⋹ c1 + α.
Hierdurch ist dann die Prämisse verwandelt in eine Doppelsubsum-
tion mit dem Mittelgliede x und einem davon freien Subjekte sowol
als Prädikate. Dieselbe ist m. a. W. für sich schon „aufgelöst“ nach x;
zugleich erscheint x eliminirt, sobald man es beim Lesen der Doppel-
subsumtion gemäss Prinzip II überspringt. In der That wird beim
allgemeinen Schema b β1 ⋹ a1 + α die Resultante der Elimination des x
vorstellen.
Wenn von dem allgemeinen Schema einzelne Terme fehlten, so kann
es sich ereignen, dass man statt einer Doppelsubsumtion nur eine einfache
Subsumtion erhält von der Form
d ⋹ x oder aber x ⋹ δ.
Diese ist jedoch leicht zu einer Doppelsubsumtion zu ergänzen in Gestalt von:
d ⋹ x ⋹ 1 resp. 0 ⋹ x ⋹ δ
und ist ersichtlich, dass alsdann durch die Elimination des x aus der
Einzelprämisse nur eine Identität: d ⋹ 1 resp. 0 ⋹ δ resultiren würde,
die bei Aufstellung der Gesamtresultante nicht weiter berücksichtigt zu
werden braucht (weil 0 links Summand, 1 rechts Faktor würde — wie
sogleich zu sehen).
Um nunmehr das ganze System von Prämissen nach der Unbekannten
x aufzulösen, nachdem die x enthaltenden sämtlich zu solchen Doppel-
subsumtionen umgeformt sind, braucht man nur die Subjekte dieser
letzteren additiv zu einem einzigen Subjekte, ihre Prädikate multiplikativ
zu einem einzigen Prädikate von x zu vereinigen. Man wird dadurch
eine Doppelsubsumtion mit dem Mittelgliede x und davon unabhängigen
extremen Gliedern erhalten, welche nach Def. (3) äquivalent sein muss
dem System jener Doppelsubsumtionen, welche also zusammen mit der
Gruppe der x von vornherein nicht enthaltenden Prämissen das ur-
sprüngliche Prämissensystem vollständig vertritt. Die volle Resultante
der Elimination des x besteht aus dem System der Prämissen eben
dieser letztern Gruppe in Verbindung mit der aus der „vereinigten“
Doppelsubsumtion durch Überspringen des x gemäss Pr. II sich er-
gebenden Resultante, welche die Summe der Subjekte des x einordnet
dem Produkt seiner Prädikate. —
Um dies an dem klassischen Problem von Boole, 1 Aufg. des § 25,
zu erläutern, so schreiben wir behufs Elimination von e die erste Prämisse
in der Gestalt an:
[FORMEL], die zweite als: a d (b c1 + b1 c) ⋹ e,
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 586. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/606>, abgerufen am 20.05.2024.
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