systems erzielt wird -- wogegen, wenn man die Operationen behufs simul- taner Elimination an das ursprüngliche Prämissensystem anküpfen wollte, man dieses Vorteils verlustig gehen würde. Wir werden es demnach in der That immer nur mit einem Symbol, als Eliminanden oder Unbekannte, auf einmal zu thun bekommen, und brauchen nur darauf Bedacht zu nehmen, wie wir uns in Bezug auf dieses (somit auch jedes) am besten aus der Schlinge ziehen.
In jeder Prämissensubsumtion (welche x überhaupt enthält) entwickele man die linke Seite, das Subjekt, falls x in demselben vorkommt, nach x in Form einer Summe gemäss Th. 44+) die rechte Seite oder das Prädikat, falls x in ihm vorkommt, in Form eines Produktes ge- mäss Th. 44x). Darnach lässt sich: a x + b x1 (a + x1) (b + x) als die allgemeine Form einer jeden x enthaltenden Prämisse hin- stellen, wobei nur, wenn x auf einer Seite von selbst herausfällt oder fehlte, dasselbe nicht extra eingeführt zu werden braucht, vielmehr dann in Gestalt von a x + b x1g resp. c (a + x1) (b + x) mit der betreffenden Prämisse weiter zu operiren ist. Es brauchen auch etwa ausfallende Glieder, wie 0 · x oder 0 · x1 oder Faktoren, wie 1 + x oder 1 + x1, durchaus nicht angesetzt zu werden, vielmehr kommen in solchen Fällen auch die beim allgemeinen Schema anzuführenden Operationen, soweit sie sich auf jene zu beziehen hätten, einfach in Wegfall.
Man löse jetzt die betreffende Subsumtion gemäss Definition (3) auf in die einfacheren Subsumtionen:
[Formel 1]
wobei wieder, falls ein Term fehlte, derselbe auch vorstehend nicht vertreten sein wird.
Das allgemeine Schema repräsentirt nur zwei (nicht vier) Subsumtionen, nämlich die beim Lesen einer jeden Zeile sich ergebenden: a xa + x1, b x1b + x, da die über's Kreuz durch das Subsumtionszeichen verbundenen Terme nur analytische Identitäten a xb + x, b x1a + x1 liefern.
Nach der Regel von Peirce's Theorem 41) werfe man das Opera- tionsglied x1jetzt (als x) auf die andere Seite, was beim allgemeinen Schema auf eine Unterdrückung des Terms x1 hinausläuft, und für sämtliche angeführten Fälle gibt:
a xa bb + x
resp.
a xg bg + x
resp.
c xa cb + x.
§ 27. Methoden von McColl und Peirce.
systems erzielt wird — wogegen, wenn man die Operationen behufs simul- taner Elimination an das ursprüngliche Prämissensystem anküpfen wollte, man dieses Vorteils verlustig gehen würde. Wir werden es demnach in der That immer nur mit einem Symbol, als Eliminanden oder Unbekannte, auf einmal zu thun bekommen, und brauchen nur darauf Bedacht zu nehmen, wie wir uns in Bezug auf dieses (somit auch jedes) am besten aus der Schlinge ziehen.
In jeder Prämissensubsumtion (welche x überhaupt enthält) entwickele man die linke Seite, das Subjekt, falls x in demselben vorkommt, nach x in Form einer Summe gemäss Th. 44+) die rechte Seite oder das Prädikat, falls x in ihm vorkommt, in Form eines Produktes ge- mäss Th. 44×). Darnach lässt sich: a x + b x1 ⋹ (α + x1) (β + x) als die allgemeine Form einer jeden x enthaltenden Prämisse hin- stellen, wobei nur, wenn x auf einer Seite von selbst herausfällt oder fehlte, dasselbe nicht extra eingeführt zu werden braucht, vielmehr dann in Gestalt von a x + b x1 ⋹ γ resp. c ⋹ (α + x1) (β + x) mit der betreffenden Prämisse weiter zu operiren ist. Es brauchen auch etwa ausfallende Glieder, wie 0 · x oder 0 · x1 oder Faktoren, wie 1 + x oder 1 + x1, durchaus nicht angesetzt zu werden, vielmehr kommen in solchen Fällen auch die beim allgemeinen Schema anzuführenden Operationen, soweit sie sich auf jene zu beziehen hätten, einfach in Wegfall.
Man löse jetzt die betreffende Subsumtion gemäss Definition (3) auf in die einfacheren Subsumtionen:
[Formel 1]
wobei wieder, falls ein Term fehlte, derselbe auch vorstehend nicht vertreten sein wird.
Das allgemeine Schema repräsentirt nur zwei (nicht vier) Subsumtionen, nämlich die beim Lesen einer jeden Zeile sich ergebenden: a x ⋹ α + x1, b x1 ⋹ β + x, da die über's Kreuz durch das Subsumtionszeichen verbundenen Terme nur analytische Identitäten a x ⋹ β + x, b x1 ⋹ α + x1 liefern.
Nach der Regel von Peirce's Theorem 41) werfe man das Opera- tionsglied x1jetzt (als x) auf die andere Seite, was beim allgemeinen Schema auf eine Unterdrückung des Terms x1 hinausläuft, und für sämtliche angeführten Fälle gibt:
a x ⋹ α b ⋹ β + x
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resp.
c x ⋹ α c ⋹ β + x.
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§ 27. Methoden von McColl und Peirce.
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man dieses Vorteils verlustig gehen würde. Wir werden es demnach in
der That immer nur mit einem Symbol, als Eliminanden oder Unbekannte,
auf einmal zu thun bekommen, und brauchen nur darauf Bedacht zu nehmen,
wie wir uns in Bezug auf dieses (somit auch jedes) am besten aus der
Schlinge ziehen.
In jeder Prämissensubsumtion (welche x überhaupt enthält) entwickele
man die linke Seite, das Subjekt, falls x in demselben vorkommt,
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das Prädikat, falls x in ihm vorkommt, in Form eines Produktes ge-
mäss Th. 44×). Darnach lässt sich:
a x + b x1 ⋹ (α + x1) (β + x)
als die allgemeine Form einer jeden x enthaltenden Prämisse hin-
stellen, wobei nur, wenn x auf einer Seite von selbst herausfällt oder
fehlte, dasselbe nicht extra eingeführt zu werden braucht, vielmehr
dann in Gestalt von
a x + b x1 ⋹ γ resp. c ⋹ (α + x1) (β + x)
mit der betreffenden Prämisse weiter zu operiren ist. Es brauchen
auch etwa ausfallende Glieder, wie 0 · x oder 0 · x1 oder Faktoren, wie
1 + x oder 1 + x1, durchaus nicht angesetzt zu werden, vielmehr kommen
in solchen Fällen auch die beim allgemeinen Schema anzuführenden
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Wegfall.
Man löse jetzt die betreffende Subsumtion gemäss Definition (3) auf
in die einfacheren Subsumtionen:
[FORMEL] wobei wieder, falls ein Term fehlte, derselbe auch vorstehend nicht
vertreten sein wird.
Das allgemeine Schema repräsentirt nur zwei (nicht vier) Subsumtionen,
nämlich die beim Lesen einer jeden Zeile sich ergebenden: a x ⋹ α + x1,
b x1 ⋹ β + x, da die über's Kreuz durch das Subsumtionszeichen verbundenen
Terme nur analytische Identitäten a x ⋹ β + x, b x1 ⋹ α + x1 liefern.
Nach der Regel von Peirce's Theorem 41) werfe man das Opera-
tionsglied x1 jetzt (als x) auf die andere Seite, was beim allgemeinen
Schema auf eine Unterdrückung des Terms x1 hinausläuft, und für
sämtliche angeführten Fälle gibt:
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 585. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/605>, abgerufen am 19.05.2024.
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