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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 27. Methoden von McColl und Peirce.

indem wir eine Doppelumstellung an ihrem früheren Ansatz vornehmen,
nämlich den Faktor e1 von links als Summanden e nach rechts warfen,
sodann den Summanden b c + b1 c1 negirt als Faktor b c1 + b1 c von rechts
nach links -- oder beides a tempo.

Die dritte Prämisse, welche Gleichung war, lösen wir als vorwärtige
und rückwärtige Subsumtion bezüglich auf zu:

a b c d1 + c1 d	resp.	c d1 + c1 d a
e c d1 + c1 d + a1		b1 (c d1 + c1 d) e.

Die Resultante der Elimination des e besteht aus dem System der
drei von den vorstehenden Subsumtionen, welche e gar nicht enthalten,
zusammen mit derjenigen, welche die Summe der drei Subjekte von e sub-
sumirt unter das eine Prädikat desselben. Letztre lautet:
a1 c1 + a d (b c1 + b1 c) + b1 (c d1 + c1 d) c d1 + c1 d + a1.
Hiermit ist diese Elimination bereits vollzogen. Bei keiner allgemeinen
Methode wird man sich aber der Anforderung entziehen können, die syste-
matisch von ihr gelieferten Rechnungsergebnisse jeweils nach Möglichkeit
-- mit Rücksicht auf die besonderen Verhältnisse des gerade vorliegenden
Falles -- zu vereinfachen, zu reduziren! Das letzte vereinfacht sich zu:
a b1 c d = 0 oder a c d b,
wie man augenblicklich erkennt, wenn man das Glied a1 von rechts als
Faktor a und ebenso das Glied c d1 + c1 d von rechts als Faktor c d + c1 d1
nach links wirft.

Der Übersicht wegen reproduziren wir die (bereits da stehende) Gesamt-
resultante, zugleich die Elimination von a vorbereitend; sie besteht aus
dem Systeme:
(b d + b1 d1) c1 a, a b1 + c d1 + c1 d, c d1 + c1 d a, a b + c1 + d1.
Mithin ist ihre Auflösung nach a:
(b d + b1 d1) c1 + c d1 + c1 d a (b1 + c d1 + c1 d) (b + c1 + d1)
in welcher Doppelsubsumtion die extremen Glieder sich nach leichter Re-
duktion als gleich herausstellen, sodass die Elimination von a ergebnisslos
bleibt, und
a = c d1 + c1 d + b1 c1 d1
geschrieben werden kann.

Um sodann b zu eliminiren, nehmen wir am besten die letzte als die
einfachste Zusammenfassung der nun als Prämissen dienenden Ergebnisse,
und zerlegen die Gleichung als vor- und rückwärtige Subsumtion in:
[Formel 1] .
Die Elimination von b1 aus der ersten und der in b1 a + c + d um-
geschriebenen dritten von diesen vier Subsumtionen liefert augenscheinlich
nur ein identisches Ergebniss, weshalb die Resultante der Elimination

§ 27. Methoden von McColl und Peirce.

Die dritte Prämisse, welche Gleichung war, lösen wir als vorwärtige
und rückwärtige Subsumtion bezüglich auf zu:

a b ⋹ c d1 + c1 d	resp.	c d1 + c1 d ⋹ a
e ⋹ c d1 + c1 d + a1		b1 (c d1 + c1 d) ⋹ e.

Die Resultante der Elimination des e besteht aus dem System der
drei von den vorstehenden Subsumtionen, welche e gar nicht enthalten,
zusammen mit derjenigen, welche die Summe der drei Subjekte von e sub-
sumirt unter das eine Prädikat desselben. Letztre lautet:
a1 c1 + a d (b c1 + b1 c) + b1 (c d1 + c1 d) ⋹ c d1 + c1 d + a1.
Hiermit ist diese Elimination bereits vollzogen. Bei keiner allgemeinen
Methode wird man sich aber der Anforderung entziehen können, die syste-
matisch von ihr gelieferten Rechnungsergebnisse jeweils nach Möglichkeit
— mit Rücksicht auf die besonderen Verhältnisse des gerade vorliegenden
Falles — zu vereinfachen, zu reduziren! Das letzte vereinfacht sich zu:
a b1 c d = 0 oder a c d ⋹ b,
wie man augenblicklich erkennt, wenn man das Glied a1 von rechts als
Faktor a und ebenso das Glied c d1 + c1 d von rechts als Faktor c d + c1 d1
nach links wirft.

Der Übersicht wegen reproduziren wir die (bereits da stehende) Gesamt-
resultante, zugleich die Elimination von a vorbereitend; sie besteht aus
dem Systeme:
(b d + b1 d1) c1 ⋹ a, a ⋹ b1 + c d1 + c1 d, c d1 + c1 d ⋹ a, a ⋹ b + c1 + d1.
Mithin ist ihre Auflösung nach a:
(b d + b1 d1) c1 + c d1 + c1 d ⋹ a ⋹ (b1 + c d1 + c1 d) (b + c1 + d1)
in welcher Doppelsubsumtion die extremen Glieder sich nach leichter Re-
duktion als gleich herausstellen, sodass die Elimination von a ergebnisslos
bleibt, und
a = c d1 + c1 d + b1 c1 d1
geschrieben werden kann.

Um sodann b zu eliminiren, nehmen wir am besten die letzte als die
einfachste Zusammenfassung der nun als Prämissen dienenden Ergebnisse,
und zerlegen die Gleichung als vor- und rückwärtige Subsumtion in:
[Formel 1] .
Die Elimination von b1 aus der ersten und der in b1 ⋹ a + c + d um-
geschriebenen dritten von diesen vier Subsumtionen liefert augenscheinlich
nur ein identisches Ergebniss, weshalb die Resultante der Elimination

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[587/0607] § 27. Methoden von McColl und Peirce. indem wir eine Doppelumstellung an ihrem früheren Ansatz vornehmen, nämlich den Faktor e1 von links als Summanden e nach rechts warfen, sodann den Summanden b c + b1 c1 negirt als Faktor b c1 + b1 c von rechts nach links — oder beides a tempo. Die dritte Prämisse, welche Gleichung war, lösen wir als vorwärtige und rückwärtige Subsumtion bezüglich auf zu: a b ⋹ c d1 + c1 d resp. c d1 + c1 d ⋹ a e ⋹ c d1 + c1 d + a1 b1 (c d1 + c1 d) ⋹ e. Die Resultante der Elimination des e besteht aus dem System der drei von den vorstehenden Subsumtionen, welche e gar nicht enthalten, zusammen mit derjenigen, welche die Summe der drei Subjekte von e sub- sumirt unter das eine Prädikat desselben. Letztre lautet: a1 c1 + a d (b c1 + b1 c) + b1 (c d1 + c1 d) ⋹ c d1 + c1 d + a1. Hiermit ist diese Elimination bereits vollzogen. Bei keiner allgemeinen Methode wird man sich aber der Anforderung entziehen können, die syste- matisch von ihr gelieferten Rechnungsergebnisse jeweils nach Möglichkeit — mit Rücksicht auf die besonderen Verhältnisse des gerade vorliegenden Falles — zu vereinfachen, zu reduziren! Das letzte vereinfacht sich zu: a b1 c d = 0 oder a c d ⋹ b, wie man augenblicklich erkennt, wenn man das Glied a1 von rechts als Faktor a und ebenso das Glied c d1 + c1 d von rechts als Faktor c d + c1 d1 nach links wirft. Der Übersicht wegen reproduziren wir die (bereits da stehende) Gesamt- resultante, zugleich die Elimination von a vorbereitend; sie besteht aus dem Systeme: (b d + b1 d1) c1 ⋹ a, a ⋹ b1 + c d1 + c1 d, c d1 + c1 d ⋹ a, a ⋹ b + c1 + d1. Mithin ist ihre Auflösung nach a: (b d + b1 d1) c1 + c d1 + c1 d ⋹ a ⋹ (b1 + c d1 + c1 d) (b + c1 + d1) in welcher Doppelsubsumtion die extremen Glieder sich nach leichter Re- duktion als gleich herausstellen, sodass die Elimination von a ergebnisslos bleibt, und a = c d1 + c1 d + b1 c1 d1 geschrieben werden kann. Um sodann b zu eliminiren, nehmen wir am besten die letzte als die einfachste Zusammenfassung der nun als Prämissen dienenden Ergebnisse, und zerlegen die Gleichung als vor- und rückwärtige Subsumtion in: [FORMEL]. Die Elimination von b1 aus der ersten und der in b1 ⋹ a + c + d um- geschriebenen dritten von diesen vier Subsumtionen liefert augenscheinlich nur ein identisches Ergebniss, weshalb die Resultante der Elimination

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 587. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/607>, abgerufen am 18.02.2025.

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