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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Vierzehnte Vorlesung.

Im fünften Prozess werden zunächst alle Subjekte, sowie alle
Prädikate von x (unter den im Prämissensystem vorkommenden Sym-
bolen oder Termen) aus den vorliegenden Subsumtionen einzeln heraus-
gelesen; im sechsten werden sie hernach zu einem einzigen Subjekte
resp. Prädikate zusammengefasst.

Nachdem vorstehend hingebracht war, dass alle Subjekte höchstens
Produkte, alle Prädikate aber höchstens Summen sind (wofern sie näm-
lich überhaupt noch als zusammengesetzte, nicht schon als einfache
Symbole erscheinen), können wir nach Belieben gemäss Th. 41) jedes
Operationsglied aus dem Subjekte in's Prädikat bringen, oder umgekehrt,
indem wir dasselbe erstens in seine Negation verwandeln, zugleich
aber auch zweitens die Art seiner Verknüpfung (mit den andern Sym-
bolen) dualistisch abändern, nämlich diese aus einer Addition in eine
Multiplikation oder umgekehrt verwandeln -- vergl. den Wortlaut
jenes Theoremes, nach welchem ja:
a b + x1 mit a x b und a x1 b mit a b + x
gleichbedeutend ist.

Keineswegs dürfte dagegen
a + x1 b in a b x oder auch a b x1 in a + x b
(oder umgekehrt) verwandelt werden, wie man, die Subsumtionen rechts
auf 0 bringend leicht erkennt, wo sie besagen:
(a + x1) b1 = 0, a (b1 + x1) = 0 resp. a (b1 + x) = 0, (a + x) b1 = 0
und augenscheinlich einander durchaus nicht decken. Mit Subsumtionen
von vorstehender Form können wir es aber hier nicht mehr zu thun be-
kommen, da, wenn solche vorkamen, sie nach dem dritten Prozess zerlegt
sein mussten.

Wo es etwa erforderlich wird, ein Symbol auf die andre Seite
der Subsumtion "hinüberzuschaffen" (zu "transponiren"), welches auf
der einen Seite isolirt steht, so lässt es die Einheit zurück, falls es
Subjekt war, die Null falls es Prädikat gewesen. Schematisch: soll
in einer Subsumtion a b das a hinübergeschafft werden, so sagt
man: 1 · a b und folgert nach der Regel: 1 a1 + b; sollte aber
das b herübergeschafft werden, so denkt man sich die gegebene Sub-
sumtion in der Gestalt angeschrieben: a b + 0, und folgert regel-
recht: a · b1 0. --

Demnach kann stets die Negation x1 der Unbekannten, wo sie
irgend vorkommt, in Gestalt von x transponirt werden, wodurch er-
zielt wird, dass das vorliegende Subsumtionensystem nur mehr x selbst,
aber nicht mehr x1 enthält. Und weiter können diejenigen Operations-

Vierzehnte Vorlesung.

Im fünften Prozess werden zunächst alle Subjekte, sowie alle
Prädikate von x (unter den im Prämissensystem vorkommenden Sym-
bolen oder Termen) aus den vorliegenden Subsumtionen einzeln heraus-
gelesen; im sechsten werden sie hernach zu einem einzigen Subjekte
resp. Prädikate zusammengefasst.

Nachdem vorstehend hingebracht war, dass alle Subjekte höchstens
Produkte, alle Prädikate aber höchstens Summen sind (wofern sie näm-
lich überhaupt noch als zusammengesetzte, nicht schon als einfache
Symbole erscheinen), können wir nach Belieben gemäss Th. 41) jedes
Operationsglied aus dem Subjekte in's Prädikat bringen, oder umgekehrt,
indem wir dasselbe erstens in seine Negation verwandeln, zugleich
aber auch zweitens die Art seiner Verknüpfung (mit den andern Sym-
bolen) dualistisch abändern, nämlich diese aus einer Addition in eine
Multiplikation oder umgekehrt verwandeln — vergl. den Wortlaut
jenes Theoremes, nach welchem ja:
a ⋹ b + x1 mit a x ⋹ b und a x1 ⋹ b mit a ⋹ b + x
gleichbedeutend ist.

Keineswegs dürfte dagegen
a + x1 ⋹ b in a ⋹ b x oder auch a ⋹ b x1 in a + x ⋹ b
(oder umgekehrt) verwandelt werden, wie man, die Subsumtionen rechts
auf 0 bringend leicht erkennt, wo sie besagen:
(a + x1) b1 = 0, a (b1 + x1) = 0 resp. a (b1 + x) = 0, (a + x) b1 = 0
und augenscheinlich einander durchaus nicht decken. Mit Subsumtionen
von vorstehender Form können wir es aber hier nicht mehr zu thun be-
kommen, da, wenn solche vorkamen, sie nach dem dritten Prozess zerlegt
sein mussten.

Wo es etwa erforderlich wird, ein Symbol auf die andre Seite
der Subsumtion „hinüberzuschaffen“ (zu „transponiren“), welches auf
der einen Seite isolirt steht, so lässt es die Einheit zurück, falls es
Subjekt war, die Null falls es Prädikat gewesen. Schematisch: soll
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man: 1 · a ⋹ b und folgert nach der Regel: 1 ⋹ a1 + b; sollte aber
das b herübergeschafft werden, so denkt man sich die gegebene Sub-
sumtion in der Gestalt angeschrieben: a ⋹ b + 0, und folgert regel-
recht: a · b1 ⋹ 0. —

Demnach kann stets die Negation x1 der Unbekannten, wo sie
irgend vorkommt, in Gestalt von x transponirt werden, wodurch er-
zielt wird, dass das vorliegende Subsumtionensystem nur mehr x selbst,
aber nicht mehr x1 enthält. Und weiter können diejenigen Operations-

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[578/0598] Vierzehnte Vorlesung. Im fünften Prozess werden zunächst alle Subjekte, sowie alle Prädikate von x (unter den im Prämissensystem vorkommenden Sym- bolen oder Termen) aus den vorliegenden Subsumtionen einzeln heraus- gelesen; im sechsten werden sie hernach zu einem einzigen Subjekte resp. Prädikate zusammengefasst. Nachdem vorstehend hingebracht war, dass alle Subjekte höchstens Produkte, alle Prädikate aber höchstens Summen sind (wofern sie näm- lich überhaupt noch als zusammengesetzte, nicht schon als einfache Symbole erscheinen), können wir nach Belieben gemäss Th. 41) jedes Operationsglied aus dem Subjekte in's Prädikat bringen, oder umgekehrt, indem wir dasselbe erstens in seine Negation verwandeln, zugleich aber auch zweitens die Art seiner Verknüpfung (mit den andern Sym- bolen) dualistisch abändern, nämlich diese aus einer Addition in eine Multiplikation oder umgekehrt verwandeln — vergl. den Wortlaut jenes Theoremes, nach welchem ja: a ⋹ b + x1 mit a x ⋹ b und a x1 ⋹ b mit a ⋹ b + x gleichbedeutend ist. Keineswegs dürfte dagegen a + x1 ⋹ b in a ⋹ b x oder auch a ⋹ b x1 in a + x ⋹ b (oder umgekehrt) verwandelt werden, wie man, die Subsumtionen rechts auf 0 bringend leicht erkennt, wo sie besagen: (a + x1) b1 = 0, a (b1 + x1) = 0 resp. a (b1 + x) = 0, (a + x) b1 = 0 und augenscheinlich einander durchaus nicht decken. Mit Subsumtionen von vorstehender Form können wir es aber hier nicht mehr zu thun be- kommen, da, wenn solche vorkamen, sie nach dem dritten Prozess zerlegt sein mussten. Wo es etwa erforderlich wird, ein Symbol auf die andre Seite der Subsumtion „hinüberzuschaffen“ (zu „transponiren“), welches auf der einen Seite isolirt steht, so lässt es die Einheit zurück, falls es Subjekt war, die Null falls es Prädikat gewesen. Schematisch: soll in einer Subsumtion a ⋹ b das a hinübergeschafft werden, so sagt man: 1 · a ⋹ b und folgert nach der Regel: 1 ⋹ a1 + b; sollte aber das b herübergeschafft werden, so denkt man sich die gegebene Sub- sumtion in der Gestalt angeschrieben: a ⋹ b + 0, und folgert regel- recht: a · b1 ⋹ 0. — Demnach kann stets die Negation x1 der Unbekannten, wo sie irgend vorkommt, in Gestalt von x transponirt werden, wodurch er- zielt wird, dass das vorliegende Subsumtionensystem nur mehr x selbst, aber nicht mehr x1 enthält. Und weiter können diejenigen Operations-

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 578. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/598>, abgerufen am 20.05.2024.