Resultante der Elimination von x aus den beiden Subsumtionen des-Paares, welches aus den Zeilen a) und b) je eine Subsumtion enthält, ist nun die Subsumtion: g) a cb + d.
Beweis. Die vereinigte Gleichung von a) und b) würde in der That (in der von mir bevorzugten Schreibweise) lauten: a b1x + c d1x1 = 0, somit als Resultante liefern: a b1c d1 = 0, was nach Th. 38x) mit der Sub- sumtion g) äquivalent ist.
Die Regel für solche Einzelelimination lautet also: Man multipli- zire die Subjekte und addire die Prädikate der zusammengehaltenen Sub- sumtionen unter Weglassung des Eliminanden.
Von den so gewonnenen Resultanten müssen die nicht analytisch erfüllten (diejenigen, welche "Relationen" sind) vollständig registrirt werden, sofern sie nicht in bereits registrirten mitenthalten sind. Zusammen mit denjenigen Subsumtionen, in welchen der Eliminand gar nicht vorkam, werden sie in Gestalt eines Propositionensystems die volle Resultante darstellen.
Es ist nicht erforderlich, eine Subsumtion der Form a) mit einer andern von ebendieser Form a) behufs Elimination des x zusammenzuhalten, und ebensowenig braucht man x aus irgend zwei Subsumtionen der Form b) apart zu eliminiren, weil in solchen Fällen die Resultanten stets auf die Identität 0 = 0 hinauslaufen müssen.
In der That würde bei zwei Subsumtionen der Form a): a xb und c xd (oder cd + x1) die vereinigte Gleichung lauten: (a b1 + c d1) x + 0 · x1 = 0, sonach bei Eli- mination des x nur fordern, dass (a b1 + c d1) · 0 = 0 sei, was von selbst der Fall ist. Und ähnlich verhält es sich bei irgend zwei Subsumtionen der Form b), wie: ab + x und cd + x (oder c x1d), welche vereinigt 0 · x + (a b1 + c d1) x1 = 0 geben. Im übrigen müsste, dass hier die Gesamtheit der Einzelresultanten die volle Resultante darstellt, doch eigentlich noch bewiesen werden!
Fünfter Prozess. Derselbe bezweckt (in Verbindung mit dem nächstfolgenden und letzten Prozesse) das Äquivalent dessen zu leisten, was wir seinerzeit als die Auflösung des Propositionensystems nach einer Unbekannten (x) bezeichneten. Nach § 21, o) kommt diese hinaus auf die Ermittelung erstens eines (x nicht als Operationsglied ent- haltenden) Prädikates, zu welchem x Subjekt ist, und zweitens eines (ebenfalls von x freien) Subjektes, zu welchem x Prädikat ist.
Schröder, Algebra der Logik. 37
§ 27. Methoden von McColl und Peirce.
Resultante der Elimination von x aus den beiden Subsumtionen des-Paares, welches aus den Zeilen α) und β) je eine Subsumtion enthält, ist nun die Subsumtion: γ) a c ⋹ b + d.
Beweis. Die vereinigte Gleichung von α) und β) würde in der That (in der von mir bevorzugten Schreibweise) lauten: a b1x + c d1x1 = 0, somit als Resultante liefern: a b1c d1 = 0, was nach Th. 38×) mit der Sub- sumtion γ) äquivalent ist.
Die Regel für solche Einzelelimination lautet also: Man multipli- zire die Subjekte und addire die Prädikate der zusammengehaltenen Sub- sumtionen unter Weglassung des Eliminanden.
Von den so gewonnenen Resultanten müssen die nicht analytisch erfüllten (diejenigen, welche „Relationen“ sind) vollständig registrirt werden, sofern sie nicht in bereits registrirten mitenthalten sind. Zusammen mit denjenigen Subsumtionen, in welchen der Eliminand gar nicht vorkam, werden sie in Gestalt eines Propositionensystems die volle Resultante darstellen.
Es ist nicht erforderlich, eine Subsumtion der Form α) mit einer andern von ebendieser Form α) behufs Elimination des x zusammenzuhalten, und ebensowenig braucht man x aus irgend zwei Subsumtionen der Form β) apart zu eliminiren, weil in solchen Fällen die Resultanten stets auf die Identität 0 = 0 hinauslaufen müssen.
In der That würde bei zwei Subsumtionen der Form α): a x ⋹ b und c x ⋹ d (oder c ⋹ d + x1) die vereinigte Gleichung lauten: (a b1 + c d1) x + 0 · x1 = 0, sonach bei Eli- mination des x nur fordern, dass (a b1 + c d1) · 0 = 0 sei, was von selbst der Fall ist. Und ähnlich verhält es sich bei irgend zwei Subsumtionen der Form β), wie: a ⋹ b + x und c ⋹ d + x (oder c x1 ⋹ d), welche vereinigt 0 · x + (a b1 + c d1) x1 = 0 geben. Im übrigen müsste, dass hier die Gesamtheit der Einzelresultanten die volle Resultante darstellt, doch eigentlich noch bewiesen werden!
Fünfter Prozess. Derselbe bezweckt (in Verbindung mit dem nächstfolgenden und letzten Prozesse) das Äquivalent dessen zu leisten, was wir seinerzeit als die Auflösung des Propositionensystems nach einer Unbekannten (x) bezeichneten. Nach § 21, ο) kommt diese hinaus auf die Ermittelung erstens eines (x nicht als Operationsglied ent- haltenden) Prädikates, zu welchem x Subjekt ist, und zweitens eines (ebenfalls von x freien) Subjektes, zu welchem x Prädikat ist.
Schröder, Algebra der Logik. 37
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§ 27. Methoden von McColl und Peirce.
Resultante der Elimination von x aus den beiden Subsumtionen
des-Paares, welches aus den Zeilen α) und β) je eine Subsumtion
enthält, ist nun die Subsumtion:
γ) a c ⋹ b + d.
Beweis. Die vereinigte Gleichung von α) und β) würde in der That
(in der von mir bevorzugten Schreibweise) lauten:
a b1 x + c d1 x1 = 0,
somit als Resultante liefern: a b1 c d1 = 0, was nach Th. 38×) mit der Sub-
sumtion γ) äquivalent ist.
Die Regel für solche Einzelelimination lautet also: Man multipli-
zire die Subjekte und addire die Prädikate der zusammengehaltenen Sub-
sumtionen unter Weglassung des Eliminanden.
Von den so gewonnenen Resultanten müssen die nicht analytisch
erfüllten (diejenigen, welche „Relationen“ sind) vollständig registrirt
werden, sofern sie nicht in bereits registrirten mitenthalten sind.
Zusammen mit denjenigen Subsumtionen, in welchen der Eliminand
gar nicht vorkam, werden sie in Gestalt eines Propositionensystems
die volle Resultante darstellen.
Es ist nicht erforderlich, eine Subsumtion der Form α) mit einer
andern von ebendieser Form α) behufs Elimination des x zusammenzuhalten,
und ebensowenig braucht man x aus irgend zwei Subsumtionen der Form β)
apart zu eliminiren, weil in solchen Fällen die Resultanten stets auf die
Identität 0 = 0 hinauslaufen müssen.
In der That würde bei zwei Subsumtionen der Form α):
a x ⋹ b und c x ⋹ d (oder c ⋹ d + x1)
die vereinigte Gleichung lauten: (a b1 + c d1) x + 0 · x1 = 0, sonach bei Eli-
mination des x nur fordern, dass (a b1 + c d1) · 0 = 0 sei, was von selbst
der Fall ist. Und ähnlich verhält es sich bei irgend zwei Subsumtionen
der Form β), wie:
a ⋹ b + x und c ⋹ d + x (oder c x1 ⋹ d),
welche vereinigt 0 · x + (a b1 + c d1) x1 = 0 geben. Im übrigen müsste, dass
hier die Gesamtheit der Einzelresultanten die volle Resultante darstellt,
doch eigentlich noch bewiesen werden!
Fünfter Prozess. Derselbe bezweckt (in Verbindung mit dem
nächstfolgenden und letzten Prozesse) das Äquivalent dessen zu leisten,
was wir seinerzeit als die Auflösung des Propositionensystems nach
einer Unbekannten (x) bezeichneten. Nach § 21, ο) kommt diese hinaus
auf die Ermittelung erstens eines (x nicht als Operationsglied ent-
haltenden) Prädikates, zu welchem x Subjekt ist, und zweitens eines
(ebenfalls von x freien) Subjektes, zu welchem x Prädikat ist.
Schröder, Algebra der Logik. 37
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 577. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/597>, abgerufen am 20.05.2024.
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