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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
stellt die Bedingung dafür vor, dass von den drei Symbolen u, v, w irgend
zweie ganz beliebig angenommen werden können, ohne dass der Bestand
der ersten Gleichung gefährdet wird. --

23. Aufgabe (Boole4 p. 144).

Die Ringelwürmer (Anneliden) sind weichleibige Tiere und entweder
nakt oder in einer Röhre eingeschlossen. Auch besteht die Ordnung der
Ringelwürmer aus allen wirbellosen Tieren, welche rotes in einem doppelten
Gefässsystem zirkulirendes Blut haben.

Bedeutet a = Anneliden, s = weichleibige Tiere (softbodied animals)
n = nakt, t = in einer Röhre (tube) eingeschlossen, i = wirbellos (inver-
tebrate), r = rotes in etc. zirkulirendes Blut habend, so werden:
a s (n + t), a = i r, nebst n t = 0
(was als selbstverständlich eingeschlossen) die gegebenen Propositionen sein.

Gesetzt wir wünschen nun zu erfahren, in welcher Weise die Klasse
s t = w der weichleibigen in einer Röhre eingeschlossenen Tiere sich zu-
sammensetzt aus den Klassen r, n, i der rotblütigen, der nakten und der
wirbellosen Tiere.

So werden wir zuerst aus der vereinigten Gleichung der Prämissen:
a (s1 + n1 t1) + a (i1 + r1) + a1 i r + n t = 0
das a eliminiren. Die Resultante ist:
n t + (s1 + n1 t1) i r = 0.
Und diese Gleichung werden wir mit der hinzugekommenen:
w1 s t + w (s1 + t1) = 0
vereinigen. [Die Elimination des a konnte hier vor dieser Vereinigung er-
folgen, weil a in der hinzutretenden Gleichung w = s t nicht vorkommt.]
Aus der vereinigten Gleichung ist alsdann s und t zu eliminiren. Die
Resultante der Elimination zunächst des s lautet:
n t + n1 t1 i r + w t1 + w1 t i r = 0,
sodann die auch von t:
(n + w1 i r) (w + n1 i r) = 0,
oder:
n w + n1 i r w1 = 0.
Und diese Gleichung ist nun wiederum nach w als Unbekannter aufzulösen.
Es wird:
s t = w = n1 (i r + u),
worin u eine unbestimmte Klasse bedeutet; d. h. Die Klasse der in eine
Röhre eingeschlossenen weichleibigen Tiere besteht aus den nicht nakten
wirbellosen rotblütigen Tieren nebst einem unbestimmten Reste von nicht-
nakten Tieren. Das Resultat befindet sich, wie man leicht nachweisen
wird, in Übereinstimmung mit dem von Boole in der weitläufigeren Fassung
w = n1 {i r + u (i r1 + i1)}
dargestellten Ergebnisse.

Schröder, Algebra der Logik. 35

§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
stellt die Bedingung dafür vor, dass von den drei Symbolen u, v, w irgend
zweie ganz beliebig angenommen werden können, ohne dass der Bestand
der ersten Gleichung gefährdet wird. —

23. Aufgabe (Boole4 p. 144).

Die Ringelwürmer (Anneliden) sind weichleibige Tiere und entweder
nakt oder in einer Röhre eingeschlossen. Auch besteht die Ordnung der
Ringelwürmer aus allen wirbellosen Tieren, welche rotes in einem doppelten
Gefässsystem zirkulirendes Blut haben.

Bedeutet a = Anneliden, s = weichleibige Tiere (softbodied animals)
n = nakt, t = in einer Röhre (tube) eingeschlossen, i = wirbellos (inver-
tebrate), r = rotes in etc. zirkulirendes Blut habend, so werden:
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(was als selbstverständlich eingeschlossen) die gegebenen Propositionen sein.

Gesetzt wir wünschen nun zu erfahren, in welcher Weise die Klasse
s t = w der weichleibigen in einer Röhre eingeschlossenen Tiere sich zu-
sammensetzt aus den Klassen r, n, i der rotblütigen, der nakten und der
wirbellosen Tiere.

So werden wir zuerst aus der vereinigten Gleichung der Prämissen:
a (s1 + n1 t1) + a (i1 + r1) + a1 i r + n t = 0
das a eliminiren. Die Resultante ist:
n t + (s1 + n1 t1) i r = 0.
Und diese Gleichung werden wir mit der hinzugekommenen:
w1 s t + w (s1 + t1) = 0
vereinigen. [Die Elimination des a konnte hier vor dieser Vereinigung er-
folgen, weil a in der hinzutretenden Gleichung w = s t nicht vorkommt.]
Aus der vereinigten Gleichung ist alsdann s und t zu eliminiren. Die
Resultante der Elimination zunächst des s lautet:
n t + n1 t1 i r + w t1 + w1 t i r = 0,
sodann die auch von t:
(n + w1 i r) (w + n1 i r) = 0,
oder:
n w + n1 i r w1 = 0.
Und diese Gleichung ist nun wiederum nach w als Unbekannter aufzulösen.
Es wird:
s t = w = n1 (i r + u),
worin u eine unbestimmte Klasse bedeutet; d. h. Die Klasse der in eine
Röhre eingeschlossenen weichleibigen Tiere besteht aus den nicht nakten
wirbellosen rotblütigen Tieren nebst einem unbestimmten Reste von nicht-
nakten Tieren. Das Resultat befindet sich, wie man leicht nachweisen
wird, in Übereinstimmung mit dem von Boole in der weitläufigeren Fassung
w = n1 {i r + u (i r1 + i1)}
dargestellten Ergebnisse.

Schröder, Algebra der Logik. 35
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[545/0565] § 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben. stellt die Bedingung dafür vor, dass von den drei Symbolen u, v, w irgend zweie ganz beliebig angenommen werden können, ohne dass der Bestand der ersten Gleichung gefährdet wird. — 23. Aufgabe (Boole4 p. 144). Die Ringelwürmer (Anneliden) sind weichleibige Tiere und entweder nakt oder in einer Röhre eingeschlossen. Auch besteht die Ordnung der Ringelwürmer aus allen wirbellosen Tieren, welche rotes in einem doppelten Gefässsystem zirkulirendes Blut haben. Bedeutet a = Anneliden, s = weichleibige Tiere (softbodied animals) n = nakt, t = in einer Röhre (tube) eingeschlossen, i = wirbellos (inver- tebrate), r = rotes in etc. zirkulirendes Blut habend, so werden: a ⋹ s (n + t), a = i r, nebst n t = 0 (was als selbstverständlich eingeschlossen) die gegebenen Propositionen sein. Gesetzt wir wünschen nun zu erfahren, in welcher Weise die Klasse s t = w der weichleibigen in einer Röhre eingeschlossenen Tiere sich zu- sammensetzt aus den Klassen r, n, i der rotblütigen, der nakten und der wirbellosen Tiere. So werden wir zuerst aus der vereinigten Gleichung der Prämissen: a (s1 + n1 t1) + a (i1 + r1) + a1 i r + n t = 0 das a eliminiren. Die Resultante ist: n t + (s1 + n1 t1) i r = 0. Und diese Gleichung werden wir mit der hinzugekommenen: w1 s t + w (s1 + t1) = 0 vereinigen. [Die Elimination des a konnte hier vor dieser Vereinigung er- folgen, weil a in der hinzutretenden Gleichung w = s t nicht vorkommt.] Aus der vereinigten Gleichung ist alsdann s und t zu eliminiren. Die Resultante der Elimination zunächst des s lautet: n t + n1 t1 i r + w t1 + w1 t i r = 0, sodann die auch von t: (n + w1 i r) (w + n1 i r) = 0, oder: n w + n1 i r w1 = 0. Und diese Gleichung ist nun wiederum nach w als Unbekannter aufzulösen. Es wird: s t = w = n1 (i r + u), worin u eine unbestimmte Klasse bedeutet; d. h. Die Klasse der in eine Röhre eingeschlossenen weichleibigen Tiere besteht aus den nicht nakten wirbellosen rotblütigen Tieren nebst einem unbestimmten Reste von nicht- nakten Tieren. Das Resultat befindet sich, wie man leicht nachweisen wird, in Übereinstimmung mit dem von Boole in der weitläufigeren Fassung w = n1 {i r + u (i r1 + i1)} dargestellten Ergebnisse. Schröder, Algebra der Logik. 35

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 545. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/565>, abgerufen am 23.11.2024.