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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Dreizehnte Vorlesung.

Analog musste bekanntlich a b c d = 0 sein, wenn es ein Werte-
paar von x und y, oder auch deren mehrere, geben soll, für welches
die Gleichung:
a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1 = 0
richtig wird. Soll diese Gleichung aber für jedes Wertepaar x, y, soll
sie allgemein gelten, so ist:
a + b + c + d = 0
dafür die notwendige und hinreichende Bedingung; wieder müssen
dann also alle Koeffizienten für sich verschwinden, je den Wert 0 haben.

Behufs Nachweises bilde man aus 1, 1, 0, 0 alle erdenklichen Werte-
paare (1,1; 1,0; 0,1; 0,0) und setze sie für x und y -- oder auch:
man erteile nur dem y die Werte 1 resp. 0 und verwerte für die
stehen bleibende Gleichung in x, die dann noch für jedes x wird
gelten müssen, das Ergebniss der vorhergehenden Überlegung.

Analog für noch mehr Variable.

22. Aufgabe.

Die Gleichung:
a u v + b u v1 + c u1 v + d u1 v1 = a b c d + w (a + b + c + d)
ist, wie wir in § 19 unter Th. 48) Zusatz gesehen haben für irgend ein
w erfüllbar durch gewisse Wertepaare u, v und für irgend ein Wertepaar
u, v erfüllbar durch gewisse w.

Es soll die Bedingung (Relation zwischen a, b, c, d) dafür aufgesucht
werden, dass diese Gleichung auch für ein irgendwie angenommenes Werte-
paar v, w bestehen (d. h. durch ein u erfüllt, nach u aufgelöst werden)
könne, resp. für ein beliebiges Wertepaar u, w (erfüllbar sei durch ein v).

Auflösung. Man eliminire zunächst v aus der rechts auf 0 gebrachten
Gleichung. Als Resultante stellt sich nach einiger Rechnung heraus:
a1 b1 (c + d) u w + a b (c1 + d1) u w1 + (a + b) c1 d1 u1 w + (a1 + b1) c d u1 w1 = 0
und da dieselbe nun für jedes irgendwie gedachte Wertepaar u, w Geltung
haben soll, so muss -- cf. vorige Studie -- sein:
a1 b1 (c + d) + a b (c1 + d1) + (a + b) c1 d1 + (a1 + b1) c d = 0,
das heisst:
a + b = c + d nebst a b = c d.

Die Resultante der Elimination des u ergibt sich analog, bequemer
aber, indem man vorstehend u mit v und zugleich b mit c vertauscht. Zu
deren allgemeiner Geltung in v, w würde sonach erforderlich sein, dass:
a + c = b + d und a c = b d
ist. Die vereinigte Gleichung der beiden Ergebnisse, m. a. W. das System
der Forderungen:
a + b = c + d, a + c = b + d, a c = b d, a b = c d,
welches auf a = d, b = c hinausläuft (Aufgabe, dies nachzuweisen),

Dreizehnte Vorlesung.

Analog musste bekanntlich a b c d = 0 sein, wenn es ein Werte-
paar von x und y, oder auch deren mehrere, geben soll, für welches
die Gleichung:
a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1 = 0
richtig wird. Soll diese Gleichung aber für jedes Wertepaar x, y, soll
sie allgemein gelten, so ist:
a + b + c + d = 0
dafür die notwendige und hinreichende Bedingung; wieder müssen
dann also alle Koeffizienten für sich verschwinden, je den Wert 0 haben.

Behufs Nachweises bilde man aus 1, 1, 0, 0 alle erdenklichen Werte-
paare (1,1; 1,0; 0,1; 0,0) und setze sie für x und y — oder auch:
man erteile nur dem y die Werte 1 resp. 0 und verwerte für die
stehen bleibende Gleichung in x, die dann noch für jedes x wird
gelten müssen, das Ergebniss der vorhergehenden Überlegung.

Analog für noch mehr Variable.

22. Aufgabe.

Die Gleichung:
a u v + b u v1 + c u1 v + d u1 v1 = a b c d + w (a + b + c + d)
ist, wie wir in § 19 unter Th. 48) Zusatz gesehen haben für irgend ein
w erfüllbar durch gewisse Wertepaare u, v und für irgend ein Wertepaar
u, v erfüllbar durch gewisse w.

Es soll die Bedingung (Relation zwischen a, b, c, d) dafür aufgesucht
werden, dass diese Gleichung auch für ein irgendwie angenommenes Werte-
paar v, w bestehen (d. h. durch ein u erfüllt, nach u aufgelöst werden)
könne, resp. für ein beliebiges Wertepaar u, w (erfüllbar sei durch ein v).

Auflösung. Man eliminire zunächst v aus der rechts auf 0 gebrachten
Gleichung. Als Resultante stellt sich nach einiger Rechnung heraus:
a1 b1 (c + d) u w + a b (c1 + d1) u w1 + (a + b) c1 d1 u1 w + (a1 + b1) c d u1 w1 = 0
und da dieselbe nun für jedes irgendwie gedachte Wertepaar u, w Geltung
haben soll, so muss — cf. vorige Studie — sein:
a1 b1 (c + d) + a b (c1 + d1) + (a + b) c1 d1 + (a1 + b1) c d = 0,
das heisst:
a + b = c + d nebst a b = c d.

Die Resultante der Elimination des u ergibt sich analog, bequemer
aber, indem man vorstehend u mit v und zugleich b mit c vertauscht. Zu
deren allgemeiner Geltung in v, w würde sonach erforderlich sein, dass:
a + c = b + d und a c = b d
ist. Die vereinigte Gleichung der beiden Ergebnisse, m. a. W. das System
der Forderungen:
a + b = c + d, a + c = b + d, a c = b d, a b = c d,
welches auf a = d, b = c hinausläuft (Aufgabe, dies nachzuweisen),

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[544/0564] Dreizehnte Vorlesung. Analog musste bekanntlich a b c d = 0 sein, wenn es ein Werte- paar von x und y, oder auch deren mehrere, geben soll, für welches die Gleichung: a x y + b x y1 + c x1 y + d x1 y1 = 0 richtig wird. Soll diese Gleichung aber für jedes Wertepaar x, y, soll sie allgemein gelten, so ist: a + b + c + d = 0 dafür die notwendige und hinreichende Bedingung; wieder müssen dann also alle Koeffizienten für sich verschwinden, je den Wert 0 haben. Behufs Nachweises bilde man aus 1, 1, 0, 0 alle erdenklichen Werte- paare (1,1; 1,0; 0,1; 0,0) und setze sie für x und y — oder auch: man erteile nur dem y die Werte 1 resp. 0 und verwerte für die stehen bleibende Gleichung in x, die dann noch für jedes x wird gelten müssen, das Ergebniss der vorhergehenden Überlegung. Analog für noch mehr Variable. 22. Aufgabe. Die Gleichung: a u v + b u v1 + c u1 v + d u1 v1 = a b c d + w (a + b + c + d) ist, wie wir in § 19 unter Th. 48) Zusatz gesehen haben für irgend ein w erfüllbar durch gewisse Wertepaare u, v und für irgend ein Wertepaar u, v erfüllbar durch gewisse w. Es soll die Bedingung (Relation zwischen a, b, c, d) dafür aufgesucht werden, dass diese Gleichung auch für ein irgendwie angenommenes Werte- paar v, w bestehen (d. h. durch ein u erfüllt, nach u aufgelöst werden) könne, resp. für ein beliebiges Wertepaar u, w (erfüllbar sei durch ein v). Auflösung. Man eliminire zunächst v aus der rechts auf 0 gebrachten Gleichung. Als Resultante stellt sich nach einiger Rechnung heraus: a1 b1 (c + d) u w + a b (c1 + d1) u w1 + (a + b) c1 d1 u1 w + (a1 + b1) c d u1 w1 = 0 und da dieselbe nun für jedes irgendwie gedachte Wertepaar u, w Geltung haben soll, so muss — cf. vorige Studie — sein: a1 b1 (c + d) + a b (c1 + d1) + (a + b) c1 d1 + (a1 + b1) c d = 0, das heisst: a + b = c + d nebst a b = c d. Die Resultante der Elimination des u ergibt sich analog, bequemer aber, indem man vorstehend u mit v und zugleich b mit c vertauscht. Zu deren allgemeiner Geltung in v, w würde sonach erforderlich sein, dass: a + c = b + d und a c = b d ist. Die vereinigte Gleichung der beiden Ergebnisse, m. a. W. das System der Forderungen: a + b = c + d, a + c = b + d, a c = b d, a b = c d, welches auf a = d, b = c hinausläuft (Aufgabe, dies nachzuweisen),

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 544. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/564>, abgerufen am 23.11.2024.