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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.

Von grösserem Interesse erscheint die Frage, ob oder wann vielleicht
die Gesamtheit der Werte von a : : b sich deckt mit der Gesamtheit der
Werte von c : : d?

Diese Gleichheit a : : b = c : : d tritt nur dann und sicher dann ein,
wenn unter der oben stipulirten Annahme die Gleichung:
a + u b1 = c + v d1
für ein beliebig angenommenes u erfüllbar ist durch ein v und für ein
irgendwie angenommenes v erfüllbar ist durch gewisse u -- vergl. § 23, e).

Letzteres tritt ein, wenn für die (rechts auf 0 gebrachte) Gleichung:
(a + b1 u) c1 (d + v1) + a1 (b + u1) (c + d1 v) = 0
die Resultante der Elimination des v:
a c1 d + a1 b c + b1 c1 d u + a1 c u1 = 0
auflösbar ist nach u, d. h. wieder, wenn nur die Resultante auch seiner
Elimination hieraus erfüllt ist. Als die gesuchte Bedingung finden wir
hienach schlechtweg die Resultante der Elimination von u nebst v aus der
obigen Gleichung, also:
a c1 d + a1 b c = 0
-- eine Gleichung, welche laut Prämisse schon ohnehin erfüllt ist.

Unter den durch Zuzug der Valenzbedingungen von a : : b und c : : d
zu der Prämisse a d = b c erweiterten Voraussetzungen wird folglich aller-
dings aus letzterer auch auf die Geltung der "Proportion" a : : b = c : : d
zu schliessen erlaubt sein, indess auch nur unter diesen Voraussetzungen.

Fragen wir endlich, ob oder wann auch die Hauptwerte der beider-
seitigen Quotienten übereinstimmen werden, d. h. wann in unsrer Bezeich-
nung wirklich a : b = c : d, oder [Formel 1] = [Formel 2] , sein wird? -- unter ebendiesen
Voraussetzungen, ohne welche ja die Frage gar keinen Sinn haben würde!

Nach k) des § 23 deckt sich dies mit der Forderung, dass
a + b1 = c + d1, oder (a + b1) c1 d + a1 b (c + d1) = 0,
sei. Da laut Prämisse schon zwei von den vier Termen links fortfallen,
reduzirt sich dies auf die Forderung:
b1 c1 d + a1 b d1 = 0 oder (a + a1) b1 c1 d + a1 b (c + c1) d1 = 0,
worin nach den Valenzbedingungen abermals zwei Terme sich wegheben.
Es bleibt die Bedingung:
a1 c1 (b1 d + b d1) = 0, oder b + d a + c + b d
durch welche den neun schon verschwindenden Konstituenten noch zwei
weitere zugesellt werden. Schliesslich haben wir:
a d c d b + c, b c a b a + d
als den Inbegriff der erforderlichen Bedingungen für die Bejahung der
Frage, ob [Formel 3] = [Formel 4] ?

§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.

Von grösserem Interesse erscheint die Frage, ob oder wann vielleicht
die Gesamtheit der Werte von a : : b sich deckt mit der Gesamtheit der
Werte von c : : d?

Diese Gleichheit a : : b = c : : d tritt nur dann und sicher dann ein,
wenn unter der oben stipulirten Annahme die Gleichung:
a + u b1 = c + v d1
für ein beliebig angenommenes u erfüllbar ist durch ein v und für ein
irgendwie angenommenes v erfüllbar ist durch gewisse u — vergl. § 23, η).

Letzteres tritt ein, wenn für die (rechts auf 0 gebrachte) Gleichung:
(a + b1 u) c1 (d + v1) + a1 (b + u1) (c + d1 v) = 0
die Resultante der Elimination des v:
a c1 d + a1 b c + b1 c1 d u + a1 c u1 = 0
auflösbar ist nach u, d. h. wieder, wenn nur die Resultante auch seiner
Elimination hieraus erfüllt ist. Als die gesuchte Bedingung finden wir
hienach schlechtweg die Resultante der Elimination von u nebst v aus der
obigen Gleichung, also:
a c1 d + a1 b c = 0
— eine Gleichung, welche laut Prämisse schon ohnehin erfüllt ist.

Unter den durch Zuzug der Valenzbedingungen von a : : b und c : : d
zu der Prämisse a d = b c erweiterten Voraussetzungen wird folglich aller-
dings aus letzterer auch auf die Geltung der „Proportion“ a : : b = c : : d
zu schliessen erlaubt sein, indess auch nur unter diesen Voraussetzungen.

Fragen wir endlich, ob oder wann auch die Hauptwerte der beider-
seitigen Quotienten übereinstimmen werden, d. h. wann in unsrer Bezeich-
nung wirklich a : b = c : d, oder [Formel 1] = [Formel 2] , sein wird? — unter ebendiesen
Voraussetzungen, ohne welche ja die Frage gar keinen Sinn haben würde!

Nach ϰ) des § 23 deckt sich dies mit der Forderung, dass
a + b1 = c + d1, oder (a + b1) c1 d + a1 b (c + d1) = 0,
sei. Da laut Prämisse schon zwei von den vier Termen links fortfallen,
reduzirt sich dies auf die Forderung:
b1 c1 d + a1 b d1 = 0 oder (a + a1) b1 c1 d + a1 b (c + c1) d1 = 0,
worin nach den Valenzbedingungen abermals zwei Terme sich wegheben.
Es bleibt die Bedingung:
a1 c1 (b1 d + b d1) = 0, oder b + d ⋹ a + c + b d
durch welche den neun schon verschwindenden Konstituenten noch zwei
weitere zugesellt werden. Schliesslich haben wir:
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als den Inbegriff der erforderlichen Bedingungen für die Bejahung der
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[535/0555] § 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben. Von grösserem Interesse erscheint die Frage, ob oder wann vielleicht die Gesamtheit der Werte von a : : b sich deckt mit der Gesamtheit der Werte von c : : d? Diese Gleichheit a : : b = c : : d tritt nur dann und sicher dann ein, wenn unter der oben stipulirten Annahme die Gleichung: a + u b1 = c + v d1 für ein beliebig angenommenes u erfüllbar ist durch ein v und für ein irgendwie angenommenes v erfüllbar ist durch gewisse u — vergl. § 23, η). Letzteres tritt ein, wenn für die (rechts auf 0 gebrachte) Gleichung: (a + b1 u) c1 (d + v1) + a1 (b + u1) (c + d1 v) = 0 die Resultante der Elimination des v: a c1 d + a1 b c + b1 c1 d u + a1 c u1 = 0 auflösbar ist nach u, d. h. wieder, wenn nur die Resultante auch seiner Elimination hieraus erfüllt ist. Als die gesuchte Bedingung finden wir hienach schlechtweg die Resultante der Elimination von u nebst v aus der obigen Gleichung, also: a c1 d + a1 b c = 0 — eine Gleichung, welche laut Prämisse schon ohnehin erfüllt ist. Unter den durch Zuzug der Valenzbedingungen von a : : b und c : : d zu der Prämisse a d = b c erweiterten Voraussetzungen wird folglich aller- dings aus letzterer auch auf die Geltung der „Proportion“ a : : b = c : : d zu schliessen erlaubt sein, indess auch nur unter diesen Voraussetzungen. Fragen wir endlich, ob oder wann auch die Hauptwerte der beider- seitigen Quotienten übereinstimmen werden, d. h. wann in unsrer Bezeich- nung wirklich a : b = c : d, oder [FORMEL] = [FORMEL], sein wird? — unter ebendiesen Voraussetzungen, ohne welche ja die Frage gar keinen Sinn haben würde! Nach ϰ) des § 23 deckt sich dies mit der Forderung, dass a + b1 = c + d1, oder (a + b1) c1 d + a1 b (c + d1) = 0, sei. Da laut Prämisse schon zwei von den vier Termen links fortfallen, reduzirt sich dies auf die Forderung: b1 c1 d + a1 b d1 = 0 oder (a + a1) b1 c1 d + a1 b (c + c1) d1 = 0, worin nach den Valenzbedingungen abermals zwei Terme sich wegheben. Es bleibt die Bedingung: a1 c1 (b1 d + b d1) = 0, oder b + d ⋹ a + c + b d durch welche den neun schon verschwindenden Konstituenten noch zwei weitere zugesellt werden. Schliesslich haben wir: a d ⋹ c ⋹ d ⋹ b + c, b c ⋹ a ⋹ b ⋹ a + d als den Inbegriff der erforderlichen Bedingungen für die Bejahung der Frage, ob [FORMEL] = [FORMEL]?

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Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 535. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/555>, abgerufen am 20.05.2024.