gebildet.*) Das Produkt dieser beiden Koeffizienten sowol als auch dasjenige ihrer beiden Negationen ist demnach gleich Null.
Um die zweite der gestellten Fragen zu beantworten und zugleich die Beantwortung der ersten Frage vorzubereiten, müssen wir jetzt a aus z) eliminiren. Dem Gesagten zufolge führt diese Elimination aber auf die Identität 0 = 0, womit in Beantwortung jener zweiten Frage be- wiesen erscheint: dass zwischen den Merkmalen B, C und D Für sich hinsichtlich ihrer An- oder Abwesenheit keine unabhängige Beziehung besteht.
Die Gleichung z) ist demnach äquivalent ihrer "Auflösung" nach a.
Weil indess, wie bemerkt, auch das Produkt der Negationen der Koeffizienten von a und a1 verschwindet, der eine Koeffizient die Ne- gation des andern ist, muss hier der in § 21, s) betrachtete Fall vorliegen: der in dem Ausdruck der Wurzel gemeinhin auftretende ein unbestimmtes Gebiet u enthaltende Term geht in den andern ein, die Gleichung hat nur eine Wurzel, die Unbekannte a ist durch die Gleichung eindeutig bestimmt, und zwar hat sie zum Ausdrucke den Koeffizienten ihrer Negation a1 in der Gleichung, sodass ganz un- mittelbar: e) a = c d1 + c1d + b1c1d1 als die gesuchte Auflösung nach a erhalten wird.
Dieselbe könnte nebenbei gesagt auch in den Formen angesetzt werden: th) a = c d1 + c1d + b1c1 = c d1 + c1d + b1d1 = c d1 + c1d + b1 (c1 + d1), die unbedingt mit dem Ausdruck e) äquivalent sind, vergl. § 18, b1).
Die Gleichung e) beantwortet nun die erste der gestellten Fragen, und zwar, indem wir sie als Subsumtion vor- und rückwärts inter- pretiren, dahin: wo immer das Merkmal A zu finden ist, muss auch das Merkmal C oder das D vorliegen, aber nicht beide zugleich, oder aber es müssen beide zusammen mit dem Merkmal B fehlen; umgekehrt: Wo die Merkmale B, C, D alle drei fehlen, sowie auch, wo von den Merkmalen C, D das eine ohne das andere vorliegt, da muss auch das Merkmal A sich finden.
*) Die Bemerkung des Herrn Peirce in 5 p. 42, Z. 5 v. o. dass die in Gleichung z) über a, b, c, d enthaltene Information sich in: a + c d + b c1d1 = 1 zusammenziehen lasse, beruht auf einem Versehen. Will man die Gleichung rechts auf 1 bringen, so hat man nur die Koeffizienten von a und a1 auszutauschen, und eine einfachere Fassung als die nachherige e) oder th) lässt sich der Aussage nicht geben.
§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
gebildet.*) Das Produkt dieser beiden Koeffizienten sowol als auch dasjenige ihrer beiden Negationen ist demnach gleich Null.
Um die zweite der gestellten Fragen zu beantworten und zugleich die Beantwortung der ersten Frage vorzubereiten, müssen wir jetzt a aus ζ) eliminiren. Dem Gesagten zufolge führt diese Elimination aber auf die Identität 0 = 0, womit in Beantwortung jener zweiten Frage be- wiesen erscheint: dass zwischen den Merkmalen B, C und D Für sich hinsichtlich ihrer An- oder Abwesenheit keine unabhängige Beziehung besteht.
Die Gleichung ζ) ist demnach äquivalent ihrer „Auflösung“ nach a.
Weil indess, wie bemerkt, auch das Produkt der Negationen der Koeffizienten von a und a1 verschwindet, der eine Koeffizient die Ne- gation des andern ist, muss hier der in § 21, σ) betrachtete Fall vorliegen: der in dem Ausdruck der Wurzel gemeinhin auftretende ein unbestimmtes Gebiet u enthaltende Term geht in den andern ein, die Gleichung hat nur eine Wurzel, die Unbekannte a ist durch die Gleichung eindeutig bestimmt, und zwar hat sie zum Ausdrucke den Koeffizienten ihrer Negation a1 in der Gleichung, sodass ganz un- mittelbar: η) a = c d1 + c1d + b1c1d1 als die gesuchte Auflösung nach a erhalten wird.
Dieselbe könnte nebenbei gesagt auch in den Formen angesetzt werden: ϑ) a = c d1 + c1d + b1c1 = c d1 + c1d + b1d1 = c d1 + c1d + b1 (c1 + d1), die unbedingt mit dem Ausdruck η) äquivalent sind, vergl. § 18, β1).
Die Gleichung η) beantwortet nun die erste der gestellten Fragen, und zwar, indem wir sie als Subsumtion vor- und rückwärts inter- pretiren, dahin: wo immer das Merkmal A zu finden ist, muss auch das Merkmal C oder das D vorliegen, aber nicht beide zugleich, oder aber es müssen beide zusammen mit dem Merkmal B fehlen; umgekehrt: Wo die Merkmale B, C, D alle drei fehlen, sowie auch, wo von den Merkmalen C, D das eine ohne das andere vorliegt, da muss auch das Merkmal A sich finden.
*) Die Bemerkung des Herrn Peirce in 5 p. 42, Z. 5 v. o. dass die in Gleichung ζ) über a, b, c, d enthaltene Information sich in: a + c d + b c1d1 = 1 zusammenziehen lasse, beruht auf einem Versehen. Will man die Gleichung rechts auf 1 bringen, so hat man nur die Koeffizienten von a und a1 auszutauschen, und eine einfachere Fassung als die nachherige η) oder ϑ) lässt sich der Aussage nicht geben.
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§ 25. Anwendungsbeispiele und Aufgaben.
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dasjenige ihrer beiden Negationen ist demnach gleich Null.
Um die zweite der gestellten Fragen zu beantworten und zugleich
die Beantwortung der ersten Frage vorzubereiten, müssen wir jetzt a aus
ζ) eliminiren. Dem Gesagten zufolge führt diese Elimination aber auf
die Identität 0 = 0, womit in Beantwortung jener zweiten Frage be-
wiesen erscheint: dass zwischen den Merkmalen B, C und D Für sich
hinsichtlich ihrer An- oder Abwesenheit keine unabhängige Beziehung
besteht.
Die Gleichung ζ) ist demnach äquivalent ihrer „Auflösung“ nach a.
Weil indess, wie bemerkt, auch das Produkt der Negationen der
Koeffizienten von a und a1 verschwindet, der eine Koeffizient die Ne-
gation des andern ist, muss hier der in § 21, σ) betrachtete Fall
vorliegen: der in dem Ausdruck der Wurzel gemeinhin auftretende
ein unbestimmtes Gebiet u enthaltende Term geht in den andern ein,
die Gleichung hat nur eine Wurzel, die Unbekannte a ist durch die
Gleichung eindeutig bestimmt, und zwar hat sie zum Ausdrucke den
Koeffizienten ihrer Negation a1 in der Gleichung, sodass ganz un-
mittelbar:
η) a = c d1 + c1 d + b1 c1 d1
als die gesuchte Auflösung nach a erhalten wird.
Dieselbe könnte nebenbei gesagt auch in den Formen angesetzt
werden:
ϑ) a = c d1 + c1 d + b1 c1 = c d1 + c1 d + b1 d1 = c d1 + c1 d + b1 (c1 + d1),
die unbedingt mit dem Ausdruck η) äquivalent sind, vergl. § 18, β1).
Die Gleichung η) beantwortet nun die erste der gestellten Fragen,
und zwar, indem wir sie als Subsumtion vor- und rückwärts inter-
pretiren, dahin: wo immer das Merkmal A zu finden ist, muss auch das
Merkmal C oder das D vorliegen, aber nicht beide zugleich, oder aber es
müssen beide zusammen mit dem Merkmal B fehlen; umgekehrt: Wo die
Merkmale B, C, D alle drei fehlen, sowie auch, wo von den Merkmalen
C, D das eine ohne das andere vorliegt, da muss auch das Merkmal A
sich finden.
*) Die Bemerkung des Herrn Peirce in 5 p. 42, Z. 5 v. o. dass die in
Gleichung ζ) über a, b, c, d enthaltene Information sich in: a + c d + b c1 d1 = 1
zusammenziehen lasse, beruht auf einem Versehen. Will man die Gleichung rechts
auf 1 bringen, so hat man nur die Koeffizienten von a und a1 auszutauschen, und
eine einfachere Fassung als die nachherige η) oder ϑ) lässt sich der Aussage
nicht geben.
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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 525. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/545>, abgerufen am 16.02.2025.
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