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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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Dreizehnte Vorlesung.

bezüglich der Merkmale A, B, C, D gegebene Auskunft verquickt er-
scheint mit einem andern Element E, über welches wir in den ver-
langten Schlussfolgerungen nichts zu sagen wünschen.

Es wird deshalb in erster Linie erforderlich sein, das dem Merk-
mal E entsprechende Klassensymbol e zu eliminiren aus dem System
der Propositionen d), in welches wir die Data eingekleidet haben.

Zu dem Ende bringen wir dieselben rechts auf Null -- nach dem
Schema der Theoreme 38x) und 39+) -- und bilden gemäss Th. 20+)
-- ihre "vereinigte Gleichung", indem wir, statt jeder einzelnen, so-
gleich die Summe ihrer linken Seiten gleich Null setzen. Dabei ist
lediglich Sorge zu tragen, dass man die Negationen der vorkommenden
Ausdrücke richtig ansetze, mit Rücksicht namentlich auf Th. 36)
und 46+). Die vereinigte Gleichung lautet:
e) a1 c1 (b d + b1 d1 + e1) + a d e1 (b c1 + b1 c) + a (b + e) (c d + c1 d1) + (a1 + b1 e1) (c d1 + c1 d) = 0.

Die Resultante der Elimination von e besteht nun nach § 21, i)
aus dem von e und e1 freien Gliede im Polynome dieser Gleichung:
a1 c1 (b d + b1 d1) + a b (c d + c1 d1) + a1 (c d1 + c1 d),
dessen erster Term a1 c1 b d noch in dem letzten a1 c1 d nach dem Ab-
sorptionsgesetze 23+) eingeht, vermehrt um das Produkt der Koeffi-
zienten, welche e und e1 in e) besitzen -- das Ganze gleich 0 gesetzt.

Der Koeffizient von e ist aber: a (c d + c1 d1), der von e1 ist des-
gleichen leicht aus e) herauszulesen als:
a1 c1 + a d (b c1 + b1 c) + b1 (c d1 + c1 d);
das Produkt beider ist gleich:
a d b1 c*),
mithin die Resultante:
a1 (c d1 + c1 d + b1 c1 d1) + a (b c d + b c1 d1 + b1 c d) = 0,
oder durch Zusammenziehung zweier Terme:
z) a (c d + b c1 d1) + a1 (c d1 + c1 d + b1 c1 d1) = 0.

Diese schon recht übersichtliche Gleichung hat nun den Ausgangs-
punkt für unsere weiteren Betrachtungen zu bilden.

Man bemerkt zunächst, dass, betrachtet als "entwickelt" nach den
Argumenten c und d, die Koeffizienten von a und a1 in z) geradezu
die Negationen von einander sind, meinem Theorem 46+) gemäss

*) Miss Ladd hat1 p. 58 darauf aufmerksam gemacht, dass Herr Wundt1
p. 356 sq., indem er die auf b bezüglichen Schlüsse zieht, dieses Glied zufällig
auslässt, weshalb dieselben falsch ausfielen; ich finde: nur unvollständig.

Dreizehnte Vorlesung.

bezüglich der Merkmale A, B, C, D gegebene Auskunft verquickt er-
scheint mit einem andern Element E, über welches wir in den ver-
langten Schlussfolgerungen nichts zu sagen wünschen.

Es wird deshalb in erster Linie erforderlich sein, das dem Merk-
mal E entsprechende Klassensymbol e zu eliminiren aus dem System
der Propositionen δ), in welches wir die Data eingekleidet haben.

Zu dem Ende bringen wir dieselben rechts auf Null — nach dem
Schema der Theoreme 38×) und 39+) — und bilden gemäss Th. 20+)
— ihre „vereinigte Gleichung“, indem wir, statt jeder einzelnen, so-
gleich die Summe ihrer linken Seiten gleich Null setzen. Dabei ist
lediglich Sorge zu tragen, dass man die Negationen der vorkommenden
Ausdrücke richtig ansetze, mit Rücksicht namentlich auf Th. 36)
und 46+). Die vereinigte Gleichung lautet:
ε) a1 c1 (b d + b1 d1 + e1) + a d e1 (b c1 + b1 c) + a (b + e) (c d + c1 d1) + (a1 + b1 e1) (c d1 + c1 d) = 0.

Die Resultante der Elimination von e besteht nun nach § 21, ι)
aus dem von e und e1 freien Gliede im Polynome dieser Gleichung:
a1 c1 (b d + b1 d1) + a b (c d + c1 d1) + a1 (c d1 + c1 d),
dessen erster Term a1 c1 b d noch in dem letzten a1 c1 d nach dem Ab-
sorptionsgesetze 23+) eingeht, vermehrt um das Produkt der Koeffi-
zienten, welche e und e1 in ε) besitzen — das Ganze gleich 0 gesetzt.

Der Koeffizient von e ist aber: a (c d + c1 d1), der von e1 ist des-
gleichen leicht aus ε) herauszulesen als:
a1 c1 + a d (b c1 + b1 c) + b1 (c d1 + c1 d);
das Produkt beider ist gleich:
a d b1 c*),
mithin die Resultante:
a1 (c d1 + c1 d + b1 c1 d1) + a (b c d + b c1 d1 + b1 c d) = 0,
oder durch Zusammenziehung zweier Terme:
ζ) a (c d + b c1 d1) + a1 (c d1 + c1 d + b1 c1 d1) = 0.

Diese schon recht übersichtliche Gleichung hat nun den Ausgangs-
punkt für unsere weiteren Betrachtungen zu bilden.

Man bemerkt zunächst, dass, betrachtet als „entwickelt“ nach den
Argumenten c und d, die Koeffizienten von a und a1 in ζ) geradezu
die Negationen von einander sind, meinem Theorem 46+) gemäss

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[524/0544] Dreizehnte Vorlesung. bezüglich der Merkmale A, B, C, D gegebene Auskunft verquickt er- scheint mit einem andern Element E, über welches wir in den ver- langten Schlussfolgerungen nichts zu sagen wünschen. Es wird deshalb in erster Linie erforderlich sein, das dem Merk- mal E entsprechende Klassensymbol e zu eliminiren aus dem System der Propositionen δ), in welches wir die Data eingekleidet haben. Zu dem Ende bringen wir dieselben rechts auf Null — nach dem Schema der Theoreme 38×) und 39+) — und bilden gemäss Th. 20+) — ihre „vereinigte Gleichung“, indem wir, statt jeder einzelnen, so- gleich die Summe ihrer linken Seiten gleich Null setzen. Dabei ist lediglich Sorge zu tragen, dass man die Negationen der vorkommenden Ausdrücke richtig ansetze, mit Rücksicht namentlich auf Th. 36) und 46+). Die vereinigte Gleichung lautet: ε) a1 c1 (b d + b1 d1 + e1) + a d e1 (b c1 + b1 c) + a (b + e) (c d + c1 d1) + (a1 + b1 e1) (c d1 + c1 d) = 0. Die Resultante der Elimination von e besteht nun nach § 21, ι) aus dem von e und e1 freien Gliede im Polynome dieser Gleichung: a1 c1 (b d + b1 d1) + a b (c d + c1 d1) + a1 (c d1 + c1 d), dessen erster Term a1 c1 b d noch in dem letzten a1 c1 d nach dem Ab- sorptionsgesetze 23+) eingeht, vermehrt um das Produkt der Koeffi- zienten, welche e und e1 in ε) besitzen — das Ganze gleich 0 gesetzt. Der Koeffizient von e ist aber: a (c d + c1 d1), der von e1 ist des- gleichen leicht aus ε) herauszulesen als: a1 c1 + a d (b c1 + b1 c) + b1 (c d1 + c1 d); das Produkt beider ist gleich: a d b1 c *), mithin die Resultante: a1 (c d1 + c1 d + b1 c1 d1) + a (b c d + b c1 d1 + b1 c d) = 0, oder durch Zusammenziehung zweier Terme: ζ) a (c d + b c1 d1) + a1 (c d1 + c1 d + b1 c1 d1) = 0. Diese schon recht übersichtliche Gleichung hat nun den Ausgangs- punkt für unsere weiteren Betrachtungen zu bilden. Man bemerkt zunächst, dass, betrachtet als „entwickelt“ nach den Argumenten c und d, die Koeffizienten von a und a1 in ζ) geradezu die Negationen von einander sind, meinem Theorem 46+) gemäss *) Miss Ladd hat1 p. 58 darauf aufmerksam gemacht, dass Herr Wundt1 p. 356 sq., indem er die auf b bezüglichen Schlüsse zieht, dieses Glied zufällig auslässt, weshalb dieselben falsch ausfielen; ich finde: nur unvollständig.

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 524. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/544>, abgerufen am 22.07.2024.

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