Anmelden (DTAQ) DWDS     dlexDB     CLARIN-D

Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Bild:
<< vorherige Seite
nächste Seite >>

Zwölfte Vorlesung.
a = a (b1 + g1 + d1),a1 = a1 + b g d,
b = b (a1 + g1 + d1)etc.
c = g (a1 + b1 + d1)
d = d (a1 + b1 + g1).

Obwol wir uns unter den Koeffizienten fortan diese Ausdrücke
vorzustellen haben werden, ziehen wir den Einfachheit wegen vor, doch
die alten Namen a, b, c, d für dieselben beizubehalten.

Schon in § 22 unter b) und g) haben wir die Gleichung F = 0
nach x resp. nach y geordnet angeschrieben und aus dem Anblick
dieser Darstellungen fliessen -- nach dem vollen Schema unsrer
Methode -- die Gleichungen:
x = x (a1 y + b1 y1) + x1 (c y + d y1),
y = (a1 x + c1 x1)y + (b x + d x1) y1,
deren jede mit der aufzulösenden F = 0 äquivalent sein wird.

Systematisch zuwerke gehend ersetzen wir rechts in ihnen die
Namen x, y der Unbekannten durch unbestimmte Parameter m, n.
Ordnen wir auch sogleich nach diesen, so ergeben sich die Ausdrücke,
neben welche wir diejenigen für ihre Negationen schreiben:
x = a1 m n + b1 m n1 + c m1 n + d m1 n1, x1 = a m n + b m n1 + c1 m1 n + d1 m1 n1,
y = a1 m n + b m n1 + c1 m1 n + d m1 n1, y1 = a m n + b1 m n1 + c m1 n + d1 m1 n1.

Hiermit sind nun leicht die vier Produkte zu bilden:
x y = a1 m n + d m1 n1, x y1 = b1 m n1 + c m1 n,
x1 y = b m n1 + c1 m1 n, x1 y1 = a m n + d1 m1 n1,
deren Einsetzung in F = 0 uns die Bedingung liefert:
a d (m n + m1 n1) + b c (m n1 + m1 n) = 0,
welche einzig noch von m, n zu erfüllen ist.

Der Versuch, die Gleichung so, wie die obige, systematisch nach
den Unbekannten m, n aufzulösen, führt im Zirkel herum -- wie auch
schon a priori zu sehen ist, in Anbetracht, dass die Gleichung unge-
ändert bleibt, wenn man in ihr (dem Vorbild entsprechend, das sie
mit F = 0 zusammengehalten darbietet) das a sowol als das d durch
a d, zugleich das b und das c durch b c ersetzt.

Indessen kommt man hier unschwer zum Ziele durch die Bemer-
kung, dass wenn
m n1 + m1 n = r genannt wird, sich m n + m1 n1 = r1
dazu ergibt, wonach die zu erfüllende Gleichung lautet:
a d r1 + b c r = 0.

Zwölfte Vorlesung.
a = α (β1 + γ1 + δ1),a1 = α1 + β γ δ,
b = β (α1 + γ1 + δ1)etc.
c = γ (α1 + β1 + δ1)
d = δ (α1 + β1 + γ1).

Obwol wir uns unter den Koeffizienten fortan diese Ausdrücke
vorzustellen haben werden, ziehen wir den Einfachheit wegen vor, doch
die alten Namen a, b, c, d für dieselben beizubehalten.

Schon in § 22 unter β) und γ) haben wir die Gleichung F = 0
nach x resp. nach y geordnet angeschrieben und aus dem Anblick
dieser Darstellungen fliessen — nach dem vollen Schema unsrer
Methode — die Gleichungen:
x = x (a1 y + b1 y1) + x1 (c y + d y1),
y = (a1 x + c1 x1)y + (b x + d x1) y1,
deren jede mit der aufzulösenden F = 0 äquivalent sein wird.

Systematisch zuwerke gehend ersetzen wir rechts in ihnen die
Namen x, y der Unbekannten durch unbestimmte Parameter μ, ν.
Ordnen wir auch sogleich nach diesen, so ergeben sich die Ausdrücke,
neben welche wir diejenigen für ihre Negationen schreiben:
x = a1 μ ν + b1 μ ν1 + c μ1 ν + d μ1 ν1, x1 = a μ ν + b μ ν1 + c1 μ1 ν + d1 μ1 ν1,
y = a1 μ ν + b μ ν1 + c1 μ1 ν + d μ1 ν1, y1 = a μ ν + b1 μ ν1 + c μ1 ν + d1 μ1 ν1.

Hiermit sind nun leicht die vier Produkte zu bilden:
x y = a1 μ ν + d μ1 ν1, x y1 = b1 μ ν1 + c μ1 ν,
x1 y = b μ ν1 + c1 μ1 ν, x1 y1 = a μ ν + d1 μ1 ν1,
deren Einsetzung in F = 0 uns die Bedingung liefert:
a d (μ ν + μ1 ν1) + b c (μ ν1 + μ1 ν) = 0,
welche einzig noch von μ, ν zu erfüllen ist.

Der Versuch, die Gleichung so, wie die obige, systematisch nach
den Unbekannten μ, ν aufzulösen, führt im Zirkel herum — wie auch
schon a priori zu sehen ist, in Anbetracht, dass die Gleichung unge-
ändert bleibt, wenn man in ihr (dem Vorbild entsprechend, das sie
mit F = 0 zusammengehalten darbietet) das a sowol als das d durch
a d, zugleich das b und das c durch b c ersetzt.

Indessen kommt man hier unschwer zum Ziele durch die Bemer-
kung, dass wenn
μ ν1 + μ1 ν = ϱ genannt wird, sich μ ν + μ1 ν1 = ϱ1
dazu ergibt, wonach die zu erfüllende Gleichung lautet:
a d ϱ1 + b c ϱ = 0.

<TEI>
  <text>
    <body>
      <div n="1">
        <div n="2">
          <p>
            <pb facs="#f0536" n="516"/>
            <fw place="top" type="header">Zwölfte Vorlesung.</fw><lb/>
            <table>
              <row>
                <cell><hi rendition="#i">a</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>),</cell>
                <cell><hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2; &#x03B3; &#x03B4;</hi>,</cell>
              </row><lb/>
              <row>
                <cell><hi rendition="#i">b</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)</cell>
                <cell>etc.</cell>
              </row><lb/>
              <row>
                <cell><hi rendition="#i">c</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)</cell>
                <cell/>
              </row><lb/>
              <row>
                <cell><hi rendition="#i">d</hi> = <hi rendition="#i">&#x03B4;</hi> (<hi rendition="#i">&#x03B1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>).</cell>
                <cell/>
              </row><lb/>
            </table>
          </p>
          <p>Obwol wir uns unter den Koeffizienten fortan diese Ausdrücke<lb/>
vorzustellen haben werden, ziehen wir den Einfachheit wegen vor, doch<lb/>
die alten Namen <hi rendition="#i">a</hi>, <hi rendition="#i">b</hi>, <hi rendition="#i">c</hi>, <hi rendition="#i">d</hi> für dieselben beizubehalten.</p><lb/>
          <p>Schon in § 22 unter <hi rendition="#i">&#x03B2;</hi>) und <hi rendition="#i">&#x03B3;</hi>) haben wir die Gleichung <hi rendition="#i">F</hi> = 0<lb/>
nach <hi rendition="#i">x</hi> resp. nach <hi rendition="#i">y</hi> geordnet angeschrieben und aus dem Anblick<lb/>
dieser Darstellungen fliessen &#x2014; nach dem vollen Schema unsrer<lb/>
Methode &#x2014; die Gleichungen:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">x</hi> (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> (<hi rendition="#i">c y</hi> + <hi rendition="#i">d y</hi><hi rendition="#sub">1</hi>),<lb/><hi rendition="#i">y</hi> = (<hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>)<hi rendition="#i">y</hi> + (<hi rendition="#i">b x</hi> + <hi rendition="#i">d x</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,</hi><lb/>
deren jede mit der aufzulösenden <hi rendition="#i">F</hi> = 0 äquivalent sein wird.</p><lb/>
          <p>Systematisch zuwerke gehend ersetzen wir rechts in ihnen die<lb/>
Namen <hi rendition="#i">x</hi>, <hi rendition="#i">y</hi> der Unbekannten durch unbestimmte Parameter <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi>.<lb/>
Ordnen wir auch sogleich nach diesen, so ergeben sich die Ausdrücke,<lb/>
neben welche wir diejenigen für ihre Negationen schreiben:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC; &#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC; &#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c &#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">d &#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a &#x03BC; &#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">b &#x03BC; &#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,<lb/><hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC; &#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">b &#x03BC; &#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">d &#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a &#x03BC; &#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC; &#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c &#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>.</hi></p><lb/>
          <p>Hiermit sind nun leicht die vier Produkte zu bilden:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">x y</hi> = <hi rendition="#i">a</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC; &#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">d &#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>, <hi rendition="#i">x y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">b</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC; &#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c &#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi>,<lb/><hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi> = <hi rendition="#i">b &#x03BC; &#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">c</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi>, <hi rendition="#i">x</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">y</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">a &#x03BC; &#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">d</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>,</hi><lb/>
deren Einsetzung in <hi rendition="#i">F</hi> = 0 uns die Bedingung liefert:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a d</hi> (<hi rendition="#i">&#x03BC; &#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi>) + <hi rendition="#i">b c</hi> (<hi rendition="#i">&#x03BC; &#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi>) = 0,</hi><lb/>
welche einzig noch von <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi> zu erfüllen ist.</p><lb/>
          <p>Der Versuch, die Gleichung so, wie die obige, systematisch nach<lb/>
den Unbekannten <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi>, <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi> aufzulösen, führt im Zirkel herum &#x2014; wie auch<lb/>
schon a priori zu sehen ist, in Anbetracht, dass die Gleichung unge-<lb/>
ändert bleibt, wenn man in ihr (dem Vorbild entsprechend, das sie<lb/>
mit <hi rendition="#i">F</hi> = 0 zusammengehalten darbietet) das <hi rendition="#i">a</hi> sowol als das <hi rendition="#i">d</hi> durch<lb/><hi rendition="#i">a d</hi>, zugleich das <hi rendition="#i">b</hi> und das <hi rendition="#i">c</hi> durch <hi rendition="#i">b c</hi> ersetzt.</p><lb/>
          <p>Indessen kommt man hier unschwer zum Ziele durch die Bemer-<lb/>
kung, dass wenn<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">&#x03BC; &#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi> = <hi rendition="#i">&#x03F1;</hi> genannt wird, sich <hi rendition="#i">&#x03BC; &#x03BD;</hi> + <hi rendition="#i">&#x03BC;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> <hi rendition="#i">&#x03BD;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> = <hi rendition="#i">&#x03F1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi></hi><lb/>
dazu ergibt, wonach die zu erfüllende Gleichung lautet:<lb/><hi rendition="#c"><hi rendition="#i">a d &#x03F1;</hi><hi rendition="#sub">1</hi> + <hi rendition="#i">b c &#x03F1;</hi> = 0.</hi></p><lb/>
        </div>
      </div>
    </body>
  </text>
</TEI>
[516/0536] Zwölfte Vorlesung. a = α (β1 + γ1 + δ1), a1 = α1 + β γ δ, b = β (α1 + γ1 + δ1) etc. c = γ (α1 + β1 + δ1) d = δ (α1 + β1 + γ1). Obwol wir uns unter den Koeffizienten fortan diese Ausdrücke vorzustellen haben werden, ziehen wir den Einfachheit wegen vor, doch die alten Namen a, b, c, d für dieselben beizubehalten. Schon in § 22 unter β) und γ) haben wir die Gleichung F = 0 nach x resp. nach y geordnet angeschrieben und aus dem Anblick dieser Darstellungen fliessen — nach dem vollen Schema unsrer Methode — die Gleichungen: x = x (a1 y + b1 y1) + x1 (c y + d y1), y = (a1 x + c1 x1)y + (b x + d x1) y1, deren jede mit der aufzulösenden F = 0 äquivalent sein wird. Systematisch zuwerke gehend ersetzen wir rechts in ihnen die Namen x, y der Unbekannten durch unbestimmte Parameter μ, ν. Ordnen wir auch sogleich nach diesen, so ergeben sich die Ausdrücke, neben welche wir diejenigen für ihre Negationen schreiben: x = a1 μ ν + b1 μ ν1 + c μ1 ν + d μ1 ν1, x1 = a μ ν + b μ ν1 + c1 μ1 ν + d1 μ1 ν1, y = a1 μ ν + b μ ν1 + c1 μ1 ν + d μ1 ν1, y1 = a μ ν + b1 μ ν1 + c μ1 ν + d1 μ1 ν1. Hiermit sind nun leicht die vier Produkte zu bilden: x y = a1 μ ν + d μ1 ν1, x y1 = b1 μ ν1 + c μ1 ν, x1 y = b μ ν1 + c1 μ1 ν, x1 y1 = a μ ν + d1 μ1 ν1, deren Einsetzung in F = 0 uns die Bedingung liefert: a d (μ ν + μ1 ν1) + b c (μ ν1 + μ1 ν) = 0, welche einzig noch von μ, ν zu erfüllen ist. Der Versuch, die Gleichung so, wie die obige, systematisch nach den Unbekannten μ, ν aufzulösen, führt im Zirkel herum — wie auch schon a priori zu sehen ist, in Anbetracht, dass die Gleichung unge- ändert bleibt, wenn man in ihr (dem Vorbild entsprechend, das sie mit F = 0 zusammengehalten darbietet) das a sowol als das d durch a d, zugleich das b und das c durch b c ersetzt. Indessen kommt man hier unschwer zum Ziele durch die Bemer- kung, dass wenn μ ν1 + μ1 ν = ϱ genannt wird, sich μ ν + μ1 ν1 = ϱ1 dazu ergibt, wonach die zu erfüllende Gleichung lautet: a d ϱ1 + b c ϱ = 0.

Suche im Werk

Hilfe

Informationen zum Werk

Download dieses Werks

XML (TEI P5) · HTML · Text
TCF (text annotation layer)
TCF (tokenisiert, serialisiert, lemmatisiert, normalisiert)
XML (TEI P5 inkl. att.linguistic)

Metadaten zum Werk

TEI-Header · CMDI · Dublin Core

Ansichten dieser Seite

Voyant Tools ?

Language Resource Switchboard?

Feedback

Sie haben einen Fehler gefunden? Dann können Sie diesen über unsere Qualitätssicherungsplattform DTAQ melden.

Kommentar zur DTA-Ausgabe

Dieses Werk wurde gemäß den DTA-Transkriptionsrichtlinien im Double-Keying-Verfahren von Nicht-Muttersprachlern erfasst und in XML/TEI P5 nach DTA-Basisformat kodiert.




Ansicht auf Standard zurückstellen

URL zu diesem Werk: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890
URL zu dieser Seite: https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/536
Zitationshilfe: Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 516. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/536>, abgerufen am 20.05.2024.