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Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

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§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

Dieser wird auf die allgemeinste Weise vermittelst des Ansatzes
(cf. Th. 50):
r = a d p1 + (b1 + c1) o, r1 = (a1 + d1) o1 + b c p
-- worin die überstrichenen Faktoren auch unterdrückt werden dürften
-- zu genügen sein, und wenn man darnach
m = k r1 + l r, m1 = k1 r1 + l1 r
n = k r1 + l1 r, n1 = k1 r1 + l r
nimmt, wie sich dies nach den in Aufgabe 12 gewonnenen Schemata
für die symmetrisch allgemeine Auflösung der Gleichung
m n1 + m1 n = r
nach den Unbekannten m, n (bei gegebenem r) ergibt, so wird unser
Problem gelöst sein.

Es erübrigt nur mehr die Werte von m, n, oder besser sogleich
die Produkte:
m n = k r1, m n1 = l r, m1 n = l1 r, m1 n1 = k1 r1
nebst den gefundenen Werten von r, r1 in die letzten Ausdrücke von
x, y einzusetzen. Nach r geordnet wird zunächst:
x = (a1 k + d k1) r1 + (b1 l + c l1) r, x1 = (a k + d1 k1) r1 + (b l + c1 l1) r,
y = (a1 k + d k1) r1 + (b l + c1 l1) r, y1 = (a k + d1 k1) r1 + (b1 l + c l1) r
und hieraus fliessen bei Unterdrückung jener überstrichenen o-Faktoren
wol die konzisestmöglichen Ausdrücke für die "Wurzeln" der vorgelegten
Gleichung:
x = b c (a1 k + d k1) + a d (b1 l + c l1) + a1 (d + k) o1 + b1 (c + l) o,
y = b c (a1 k + d k1) + a d (b l + c1 l1) + a1 (d + k) o1 + c1 (b + l1) o,
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y1 = b c (a k + d1 k1) + a d (b1 l + c l1) + d1 (a + k1) o1 + b1 (c + l) o,
worin k, l o unabhängig beliebige Parameter vorstellen.

Direkt dürfte hier nicht ganz leicht zu sehen sein, dass die bei-
den letzten Ausdrücke wirklich die (korrekt gebildeten) Negationen
für die ersten beiden sind. Übersehbar wird dies erst, nachdem man
die Ausdrücke nach den drei Parametern entwickelt haben wird, was
auch zum Ausmultipliziren derselben behufs Probens der Auflösungen
die bequemste Form gibt. Man findet:

x = {(a1 + b1 d) k l + (a1 + c d) k l1 + d (a1 + b1) k1 l + d (a1 + c) k1 l1} o1 +
+ {(b1 + a1 c) k l + c (a1 + b1) k l1 + (b1 + c d) k1 l + c (b1 + d) k1 l1} o,

y = {(a1 + b d) k l + (a1 + c1 d) k l1 + d (a1 + b) k1 l + d (a1 + c1) k1 l1} o1 +
+ {b (a1 + c1) k l + (c1 + a1 b) k l1 + b (c1 + d) k1 l + (c1 + b d) k1 l1} o;

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

Dieser wird auf die allgemeinste Weise vermittelst des Ansatzes
(cf. Th. 50):
ϱ = a d ϖ1 + (b1 + c1) ω, ϱ1 = (a1 + d1) ω1 + b c ϖ
— worin die überstrichenen Faktoren auch unterdrückt werden dürften
— zu genügen sein, und wenn man darnach
μ = ϰ ϱ1 + λ ϱ, μ1 = ϰ1 ϱ1 + λ1 ϱ
ν = ϰ ϱ1 + λ1 ϱ, ν1 = ϰ1 ϱ1 + λ ϱ
nimmt, wie sich dies nach den in Aufgabe 12 gewonnenen Schemata
für die symmetrisch allgemeine Auflösung der Gleichung
μ ν1 + μ1 ν = ϱ
nach den Unbekannten μ, ν (bei gegebenem ϱ) ergibt, so wird unser
Problem gelöst sein.

Es erübrigt nur mehr die Werte von μ, ν, oder besser sogleich
die Produkte:
μ ν = ϰ ϱ1, μ ν1 = λ ϱ, μ1 ν = λ1 ϱ, μ1 ν1 = ϰ1 ϱ1
nebst den gefundenen Werten von ϱ, ϱ1 in die letzten Ausdrücke von
x, y einzusetzen. Nach ϱ geordnet wird zunächst:
x = (a1 ϰ + d ϰ1) ϱ1 + (b1 λ + c λ1) ϱ, x1 = (a ϰ + d1 ϰ1) ϱ1 + (b λ + c1 λ1) ϱ,
y = (a1 ϰ + d ϰ1) ϱ1 + (b λ + c1 λ1) ϱ, y1 = (a ϰ + d1 ϰ1) ϱ1 + (b1 λ + c λ1) ϱ
und hieraus fliessen bei Unterdrückung jener überstrichenen ω-Faktoren
wol die konzisestmöglichen Ausdrücke für die „Wurzeln“ der vorgelegten
Gleichung:
x = b c (a1 ϰ + d ϰ1) + a d (b1 λ + c λ1) + a1 (d + ϰ) ω1 + b1 (c + λ) ω,
y = b c (a1 ϰ + d ϰ1) + a d (b λ + c1 λ1) + a1 (d + ϰ) ω1 + c1 (b + λ1) ω,
x1 = b c (a ϰ + d1 ϰ1) + a d (b λ + c1 λ1) + d1 (a + ϰ1) ω1 + c1 (b + λ1) ω,
y1 = b c (a ϰ + d1 ϰ1) + a d (b1 λ + c λ1) + d1 (a + ϰ1) ω1 + b1 (c + λ) ω,
worin ϰ, λ ω unabhängig beliebige Parameter vorstellen.

x = {(a1 + b1 d) ϰ λ + (a1 + c d) ϰ λ1 + d (a1 + b1) ϰ1 λ + d (a1 + c) ϰ1 λ1} ω1 +
+ {(b1 + a1 c) ϰ λ + c (a1 + b1) ϰ λ1 + (b1 + c d) ϰ1 λ + c (b1 + d) ϰ1 λ1} ω,

y = {(a1 + b d) ϰ λ + (a1 + c1 d) ϰ λ1 + d (a1 + b) ϰ1 λ + d (a1 + c1) ϰ1 λ1} ω1 +
+ {b (a1 + c1) ϰ λ + (c1 + a1 b) ϰ λ1 + b (c1 + d) ϰ1 λ + (c1 + b d) ϰ1 λ1} ω;

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[517/0537] § 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen. Dieser wird auf die allgemeinste Weise vermittelst des Ansatzes (cf. Th. 50): ϱ = a d ϖ1 + (b1 + c1) ω, ϱ1 = (a1 + d1) ω1 + b c ϖ — worin die überstrichenen Faktoren auch unterdrückt werden dürften — zu genügen sein, und wenn man darnach μ = ϰ ϱ1 + λ ϱ, μ1 = ϰ1 ϱ1 + λ1 ϱ ν = ϰ ϱ1 + λ1 ϱ, ν1 = ϰ1 ϱ1 + λ ϱ nimmt, wie sich dies nach den in Aufgabe 12 gewonnenen Schemata für die symmetrisch allgemeine Auflösung der Gleichung μ ν1 + μ1 ν = ϱ nach den Unbekannten μ, ν (bei gegebenem ϱ) ergibt, so wird unser Problem gelöst sein. Es erübrigt nur mehr die Werte von μ, ν, oder besser sogleich die Produkte: μ ν = ϰ ϱ1, μ ν1 = λ ϱ, μ1 ν = λ1 ϱ, μ1 ν1 = ϰ1 ϱ1 nebst den gefundenen Werten von ϱ, ϱ1 in die letzten Ausdrücke von x, y einzusetzen. Nach ϱ geordnet wird zunächst: x = (a1 ϰ + d ϰ1) ϱ1 + (b1 λ + c λ1) ϱ, x1 = (a ϰ + d1 ϰ1) ϱ1 + (b λ + c1 λ1) ϱ, y = (a1 ϰ + d ϰ1) ϱ1 + (b λ + c1 λ1) ϱ, y1 = (a ϰ + d1 ϰ1) ϱ1 + (b1 λ + c λ1) ϱ und hieraus fliessen bei Unterdrückung jener überstrichenen ω-Faktoren wol die konzisestmöglichen Ausdrücke für die „Wurzeln“ der vorgelegten Gleichung: x = b c (a1 ϰ + d ϰ1) + a d (b1 λ + c λ1) + a1 (d + ϰ) ω1 + b1 (c + λ) ω, y = b c (a1 ϰ + d ϰ1) + a d (b λ + c1 λ1) + a1 (d + ϰ) ω1 + c1 (b + λ1) ω, x1 = b c (a ϰ + d1 ϰ1) + a d (b λ + c1 λ1) + d1 (a + ϰ1) ω1 + c1 (b + λ1) ω, y1 = b c (a ϰ + d1 ϰ1) + a d (b1 λ + c λ1) + d1 (a + ϰ1) ω1 + b1 (c + λ) ω, worin ϰ, λ ω unabhängig beliebige Parameter vorstellen. Direkt dürfte hier nicht ganz leicht zu sehen sein, dass die bei- den letzten Ausdrücke wirklich die (korrekt gebildeten) Negationen für die ersten beiden sind. Übersehbar wird dies erst, nachdem man die Ausdrücke nach den drei Parametern entwickelt haben wird, was auch zum Ausmultipliziren derselben behufs Probens der Auflösungen die bequemste Form gibt. Man findet: x = {(a1 + b1 d) ϰ λ + (a1 + c d) ϰ λ1 + d (a1 + b1) ϰ1 λ + d (a1 + c) ϰ1 λ1} ω1 + + {(b1 + a1 c) ϰ λ + c (a1 + b1) ϰ λ1 + (b1 + c d) ϰ1 λ + c (b1 + d) ϰ1 λ1} ω, y = {(a1 + b d) ϰ λ + (a1 + c1 d) ϰ λ1 + d (a1 + b) ϰ1 λ + d (a1 + c1) ϰ1 λ1} ω1 + + {b (a1 + c1) ϰ λ + (c1 + a1 b) ϰ λ1 + b (c1 + d) ϰ1 λ + (c1 + b d) ϰ1 λ1} ω;

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Zitationshilfe:	Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890, S. 517. In: Deutsches Textarchiv <https://www.deutschestextarchiv.de/schroeder_logik01_1890/537>, abgerufen am 16.02.2025.

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