Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

Zwölfte Vorlesung.

hervorgeht) — wie durch Eliminiren von α, β, γ aus den drei Glei-
chungen je leicht zu verifiziren ist.

Bei gegebenen Werten von x, y, z, welche die Resultante oder vor-
gelegte Gleichung erfüllen, sind hier bezüglich:
α = y z + x₁ (y + z)
bei den zwei ersten Problemen; sodann
α = y (auch y + u z₁); α = y₁ (auch y₁ + u z)
— und so weiter, die Buchstaben α, β, γ und x, y, z cyklisch vertauscht
— diejenigen Werte, welche für die Parameter anzunehmen sind, um
die Lösungsgleichungen identisch zu erfüllen.

Gelegentlich der ersten von obigen vier Aufgaben sei noch eines
kleinen Paradoxons erwähnt. Eliminirt man blos β und γ, so entsteht
für α die Gleichung:
(y₁ + z₁) α + x₁ (y + z) α₁ + x y₁ z₁ = 0,
in welcher das letzte Glied links auch unterdrückt werden mag auf Grund
der von x, y, z ohnehin erfüllt vorauszusetzenden Relation oder Endresul-
tante der Elimination (auch noch von α). Darnach berechnet sich:
α = x₁ (y + z) + u y z,
worin u willkürlich.

Behufs Erzielung einer möglichst einfachen Annahme für α wird man
sich nun versucht fühlen u (anstatt wie oben 1) lieber gleich 0 zu nehmen,
somit α = x₁ (y + z) und entsprechend β = y₁ (z + x), γ = z₁ (x + y) zu
setzen. Mit diesen Werten stimmt nun aber die Probe β + γ = x auf-
fallenderweise nicht, vielmehr läuft diese Gleichung (auf Grund der Vor-
aussetzungen über x, y, z vereinfacht) noch auf die Relation x y z = 0 hin-
aus, welche mit den Voraussetzungen nicht gegeben war.

Um dies aufzuhellen, eliminiren wir aus den drei Gleichungen
x = β + γ, etc.
der Aufgabe in Vereinigung mit den drei Ansätzen:
α = x₁ (y + z) + u y z, β = y₁ (z + x) + v z x, γ = z₁ (x + y) + w x y
die Parameter α, β, γ und erhalten als vereinigte Resultante:
0 = x y₁ z₁ + y z₁ x₁ + z x₁ y₁ + x y z (v₁ w₁ + w₁ u₁ + u₁ v₁).

Aus dieser ist zu ersehen, dass u, v, w in allen drei Ansätzen will-
kürlich bleiben, wenn x y z = 0 sein sollte, dass aber ohne diese Voraus-
setzung dieselben (unabhängig von x, y, z) nur einander gleich genommen
werden dürfen, falls u₁ = v₁ = w₁ = 0 somit u = v = w = 1 gesetzt
wird, womit sich die oben angeführten Parameterannahmen als notwendige
ergeben.

Bei der dritten Aufgabe dagegen resultirt für α die Gleichung:
y α₁ + z α + x z = 0, woraus α = y + u z₁
folgt. Der analoge Ansatz für β und γ in Gestalt von