Schröder, Ernst: Vorlesungen über die Algebra der Logik. Bd. 1. Leipzig, 1890.

§ 24. Symmetrisch allgemeine Lösungen.

β = z + v x₁, γ = x + w y₁
liefert durch das entsprechende Verfahren die Resultante:
0 = y z + z x + x y + x₁ y₁ z₁ (v₁ w + w₁ u + u₁ v),
woraus ersichtlich ist, dass der letzte Term für u = v = w schon bei be-
liebigem u in Wegfall kommen wird. —

Aufgabe 9. Die Gleichung:
x y₁ z₁ + y z₁ x₁ + z x₁ y₁ + x₁ y z + y₁ z x + z₁ x y = 0,
welche die bei den Aufgaben 7, und 8 Anm., vorgekommenen Glieder
in sich zusammenfasst, nach x, y, z symmetrisch allgemein zu lösen.

Auflösung. Die Gleichung fordert, dass:
x + y + z = x y z, oder (x + y + z) (x₁ + y₁ + z₁) = 0
sein solle, und lässt sich schreiben in der Gestalt:
oder y z₁ + z x₁ + x y₁ = 0,
oder y₁ z + z₁ x + x₁ y = 0,
(y z₁ + y₁ z) + (z x₁ + z₁ x) + (x y₁ + x₁ y) = 0,
womit, da die drei Terme auch einzeln verschwinden müssen, nach
Th. 39) gesagt ist, dass:
x = y = z
sein müsse. Hiernach wird denn augenscheinlich:
x = α, x₁ = α₁
y = α, y₁ = α₁
z = α, z₁ = α₁
die gesuchte Lösung in unabhängigen Parametern sein.

Behufs Verfahrens nach dem (vollen) Schema der Methode müsste
man die Gleichung zuerst nach einer Unbekannten ordnen, z. B. nach x,
wo sie sich in folgender einfachen Gestalt darstellen wird:
x (y₁ + z₁) + x₁ (y + z) = 0,
sodann nach jener auflösen, etc. Es würde sich
x = α β γ + α₁ (β + γ) = (β + γ) (α₁ + β γ),
oder noch konziser:
x = β γ + α₁ (β + γ), x₁ = β₁ γ₁ + α (β₁ + γ₁),
y = γ α + β₁ (γ + α), etc.
z = α β + γ₁ (α + β),
ergeben, und da sich y z = α (β γ + β₁ γ₁), somit x₁ y z = α β₁ γ₁ und folglich
ebenso x y₁ z₁ = α₁ β γ herausstellt, so führt uns die Probe der Auflösung